Calcul de efemeridă.

Seminar 7
Calcul de efemeridă
Problema calculului de efemeridă constă în determinarea pozit¸iei aparente a unei planete pe sfera cerească. Se presupun cunoscute elementele
orbitale ale planetei: Ω – longitudinea nodului ascendent, i – înclinarea orbitei fat¸ă de ecliptică, ω – argumentul periheliului, a – semiaxa mare
a orbitei, e – excentricitatea orbitei, t0 – momentul trecerii prin periheliu; se cere determinarea coordonatelor ecuatoriale ale planetei α ¸si δ în
fiecare moment de timp t.
Prima parte a acestei probleme o constituie tocmai problema lui Kepler, discutată la curs; aceasta reprezintă
partea ”mecanică” a problemei. În continuare vom insista asupra părt¸ii ”geometrice”, presupunând problema lui
Kepler rezolvată (se cunosc pozit¸iile planetei în planul orbitei sale în coordonate polare: r(t) ¸si V(t)) ne propunem
să găsim pozit¸ia acesteia pe cer, a¸sa cum este văzută de un observator de pe Pământ. Vom distinge mai departe
două cazuri: calculul de efemeridă pentru Soare ¸si calculul de efemeridă pentru o planetă, asteroid sau cometă.
1 Efemerida Soarelui
Cazul efemeridei Soarelui este cele mai simplu din punct de vedere geometric. Trebuie constatat însă faptul că
a calcula efemerida Soarelui înseamnă de fapt calcularea efemeridei Pământului în mi¸scarea sa în jurul Soarelui.
Simplitatea problemei este dată de faptul că orbita aparentă a Soarelui în mi¸scarea anulală este ecliptica; în
mi¸scarea reală planul eclipticii reprezinta planul orbitei Pământului, calculul făcându-se deci doar în acest plan.
Elementele orbitei Pământului sunt semiaxa mare a, excentricitatea e, longitudinea periheliului π (unghiul γSΠ
- fiind longitudinea ecliptică a punctului Π, adică a periheliului) ¸si momentul trecerii prin periheliu t0. Perioada
P a revolut¸iei siderale a Pământului este un paramentru utilizat în calcul, dar se consideră că acesta nu este un
parametru independent, el fiind legat de semiaxa mare prin intermediul legii a teria a lui Kepler.
Momentul trecerii prin periheliu a Pământului (sau mai corect spus, momentul unei treceri prin periheliu)
împreună cu perioada orbitală permite calculul anomaliei medii M:
După calculul anomaliei medii, se rezolvă ecuat¸ia lui Kepler
M = 3600
P (t − t0) (1)
E − e sin E = M =⇒ E
¸si apoi se calculează anomalia adevărată V ¸si distant¸a Soare Pământ r:
tg V
2 =
1 + e
1 − e tgE
2
r = a(1 − e cos E)
În continuare, geometria problemei rămâne extrem de simplă; longitudinea ecliptă helicentrică a Pământului
λT se calculează cu formula
λT = π + V. (2)
Între longitudinea ecliptică heliocentrică a Pământului ¸si longitudinea ecliptică geocentrică a Soarelui există după
cum se observă în figura (1) relat¸ia:
(3)
λ⊙ = 180 0 − λT
Evident, relat¸iile (2) ¸si (3) trebuie adaptate calculelor cu unghiuri (modulo 360 0 ).
În continuare se pot calcula coordonatele ecuatoriale ale centrului Soarelui printr-o simplă transformare de
coordonate, având bineînt¸eles în vedere faptul că latitudinea ecliptică β⊙ = 0, Soarele aflându-se pe ecliptică;
coordonatele ecuatoriale pot fi transformate în coordonate orizontale ¸si pot fi folosite pentru calculul răsăritului ¸si
apusului Soarelui.
Distant¸a r până la Soare poate fi folosită pentru a determina diametrul aparent al acestuia după formula:
tg Dap,⊙
2
≈ Dap,⊙
2
1
= R⊙
r

Figura 1: Longitudinea geocentrică a Soarelui ¸si longitudinea heliocentrică a Pământului
unde Dap,⊙ este diametrul aparent al Soarelui, iar R⊙ este raza reală a Soarelui; aproximatia este evident validă
doar pentru unghiul Dap,⊙ exprimat în radiani.
De asemenea valorile calculate cu formulele de mai sus trebuie corectate de precesie, nutat¸ie, aberat¸ie, refract¸ie
¸si paralaxă diurnă. Corect¸iile de precesie, nutat¸ie ¸si aberat¸ie se pot aplica pentru coordonatele ecliptice; în schimb
corect¸iile de refract¸ie ¸si paralaxă diurnă se pot aplica doar după calcularea coordonatelor orizontale.
2 Efemerida unei planete, asteroid sau comete
Calculul de efemerida pentru un corp care gravitează în jurul Soarelui a¸sa cum sunt planetele, are o geometrie mult
mai complicată. Complexitatea acestei probleme este dată de faptul că orbitele planetelor (ale asteroizilor sau ale
cometelor) nu coincid în general cu orbita Pământului. Planul orbitei unui astfel de obiect (pe care îl vom numi
în continuare convent¸ional ”planetă”) intersectează planul eclipticii (a orbitei Pământului) după o dreaptă numită
linia nodurilor. Intersect¸iile acestei drepte cu sfera cerească heliocentrică se numesc nodul ascendent Ω (prin care
planeta pare a trece din emisfera cerească sudică în cea nordică) ¸si nodul descendent ✵
Figura 2: Elementele orbitale ale planetei
În cazul general orbita unei planete este caracterizată de ¸sase parametri, dintre care trei de natură mecanică
au fost discutat¸i ¸si în cazul Soarelui: semiaxa mare a, excentricitatea e ¸si momentul trecerii prin periheliu t0. Cei
2

trei parametri geometrici ai orbitei sunt:
• înclinarea orbitei pe ecliptică, i, unghiul diedru format de planul orbitei planetei cu planul orbitei Pământului.
• longitudinea nodului ascendent, unghiul Ω =≺ γSΩ, care este longitudinea ecliptică a punctului Ω
• argumentul periheliului, unghiul ω =≺ ΩSΠ, format de linia apsidală AΠ cu linia nodurilor Ω✵.
Etapa 0 - pozit¸ia planetei în planul orbitei
Presupunem în continuare că determinarea pozit¸iei planetei în planul orbitei (r, V) a fost făcută după metoda
prezentată în cazul Soarelui (rezolvarea ecuat¸iei lui Kepler). Urmează partea geometrică a calculului: trecerea de
la planul orbitei la planul eclipticii ¸si apoi de la reperul heliocentric la reperul geocentric.
Etapa I - coordonate carteziene heliocentrice raportate la linia nodurilor
Pentru început să găsim pozit¸ia planetei relativă la linia nodurilor ¸si nu la linia apsidală. Pentru aceasta introducem
notat¸ia:
u = V + ω
Cum dreptele SΩ, SΠ ¸si SP sunt coplanare rezultă că u este unghiul ≺ ΩSP, ¸si deci perechea (r, u) ne dă pozit¸ia
Figura 3: Pozit¸ia planetei în planul orbitei ¸si sfera cerească heliocentrică
planetei în planul orbitei, în coordonate polare într-un sistem de coordonate cu abscisa trecând prin nodul ascendent
Ω. În continuare ne vom ”ridica” din planul orbitei în spat¸iul tridimensional. Vom construi un sistem de coordonate
S¯x¯y¯z cu reperul în centrul Soarelui S, cu axa S¯z spre polul nord ecliptic ¸si cu axa S¯x spre nodul ascendent al
orbitei planetare SΩ. Impunând ¸si condit¸ia ca sistemul cartezian să fie drept, acesta este unic definit de condit¸iile
de mai sus. Deoarece S¯z este îndreptat spre polul nord ecliptic planul S¯x¯y este planul eclipticii. Să calculăm pozit¸ia
planetei P în acest sistem. Pentru aceasta proiectăm punctul P pe planul P ¯y¯z în punctul P ′ . Vom demonstra
în continuare faptul că unghiul ¯ySP ′ este i, unghiul format de planul orbitei (SΩP ) cu planul eclipticii (SΩ¯y).
Intersect¸ia dintre cele două plane este linia nodurilor SΩ, sau S¯x. Pentru a demonstra că ≺ ¯ySP ′ =i, vom observa
în primul rând faptul ca P ′ ∈ (SΩP ), deoarece dreapta P P ′ este paralelă cu dreapta SΩ (S¯x) – fiind perpendiculare
pe acela¸si plan (S¯x¯y). Dacă P ′ apart¸ine planului orbitei (SΩP ) înseamnă că dreapta P ′ S este perpendiculara pe
SΩ în S din planul (P SΩ). Deci perpendicularele în S pe muchia SΩ a diedrului format de planele orbitei ¸si
eclipticii în cele două plane sunt P ′ S ¸si evident, ¯yS; rezultă ca unghiul diedru al celor două plane se formează între
aceste două drepte.
Cum ≺ P ′ S ¯y=i ¸si ≺ ΩSP =u reprezintă coordonatele unghiulare sferice ale punctului P în sistemul S¯x¯y¯z, avem
că SP ′ =r sin u ¸si deci coordonatele carteziene ale punctului P în sistemul considerat sunt:
¯x = r cos u
¯y = r sin u cos i (4)
¯z = r sin u sin i
3

Figura 4: Sistemul de coordonate carteziene heliocentrice raportate la linia nodurilor
Etapa II - coordonate carteziene heliocentrice ecliptice
Pentru a obt¸ine coordonatele planetei într-un sistem ecliptic heliocentric trebuie ca în planul S¯x¯y–planul eclipticii
să facem o rotat¸ie de la linia nodurilor la linia echinoxiilor Sγ. Construim deci sistemul Sxeyeze cu Sze=S¯z spre
polul nord ecliptic dar cu axa Sxe orientată spre punctul vernal. Trecerea de la sistemul S¯x¯y¯z la sistemul Sxeyeze
Figura 5: Trecerea la sistemul de coordonate carteziene heliocentrice ecliptice
este o rotat¸ie de unghi Ω în sens orar, deci analitic scriem o rotat¸ie de unghi −Ω în jurul axei S¯z:
xe = ¯x cos Ω − ¯y sin Ω
ye = ¯x sin Ω + ¯y cos Ω (5)
ze = ¯z
4

Coordonatele xe, ye, ze reprezintă coordonatele carteziene ecliptice heliocentrice ale planetei.
Etapa III - coordonate carteziene geocentrice ecliptice
Pentru a obt¸ine pozit¸ia geocentrică a planetei va trebui să facem o translat¸ie a reperului de la S la T , în planul
eclipticii.
Figura 6: Trecerea la sistemul de coordonate carteziene geocentrice ecliptice
Vom construi un sistem de coordonate T xyz cu axele paralele cu cele ale sistemului Sxeyeze. Direct¸ia ST face
cu axa Sx unghiul λ⊙ − 180 0 (modulo 360 0 ), λ⊙ fiind longitudinea ecliptică a Soarelui, calculată în paragraful
precedent, ”efemerida Soarelui”; de fapt unghiul ≺ xeST =λ⊙ − 180 0 este λT din acel paragraf. Componentele
vectorului de translat¸ie ST vor fi a cos(λ⊙ − 180 0 ), a sin(λ⊙ − 180 0 ) ¸si 0, unde cu a am notat distant¸a curentă
Pământ-Soare. Translat¸ia se va scrie deci:
x = xe − a cos λ⊙
y = ye − a sin λ⊙ (6)
z = ze,
Trebuie remarcat faptul că această etapă nu este altceva decât corect¸ia de paralaxă anuală aplicată pentru o
planetă.
Etapa IV - coordonate sferice geocentrice ecliptice
Coordonatele x, y ¸si z fiind coordonatele carteziene ecliptice geocentrice ale planetei, relat¸ia lor cu coordonatele
unghiulare sferice adică latitudinea ecliptică β ¸si longitudinea ecliptică λ va fi:
x = ρ cos β cos λ
y = ρ cos β sin λ (7)
z = ρ sin β
unde ρ este distant¸a T P de la Pământ la planetă; aceasta poate fi calculată cu formula:
ρ = x 2 + y 2 + z 2 (8)
5

Figura 7: Coordonatele ecliptice geocentrice ale planetei
¸si deci ecuat¸iile (7) pot fi inversate pentru a obt¸ine coordonatele λ ¸si β:
sin β = z
ρ
cos λ =
x
ρ cos β
sin λ =
y
ρ cos β
Coordonatele ecliptice pot fi apoi transformate în coordonate ecuatoriale prin procedeul cunoscut. Distant¸a până
la planetă poate fi folosită pentru a determina diametrul aparent al acesteia. Ca ¸si în cazul Soarelui, coordonatele
calculate trebuie corectate de precesie, nutat¸ie, aberat¸ie, refract¸ie ¸si paralaxă diurnă.
Metoda de determinare a paralaxei descrisă aici se bazează pe teoria problemei celor două corpuri. Pentru calcule mai precise trebuie
avute în vedere ¸si interact¸iunile reciproce ale planetelor,în special act¸iunea produsă de atract¸iile planetelor gigante ale sistemului solar. Aceasta
presupune fie considerarea unor elemente de calcul al perturbat¸iilor (astfel că elementele orbitale nu vor mai fi constante ci vor fi dependente
de timp), fie integrarea numerică a problemei celor n corpuri. Oricum, dacă partea ”mecanică” a calculului poate fi îmbunătăt¸ită, partea
”geometrică” a calculului va rămâne aceea¸si.
Trebuie de asemenea precizat faptul că elemnetle orbitale ale planetelor, cometelor sau asteroizilor se face pornind de la un set de observat¸ii
ale pozit¸iilor aparente ale acestora, rezolvând problema inversă calculului de efemeridă, problemă numită calcul de orbită.
6
(9)