Aproximarea functionalelor liniare

Introducere
Derivare numerică
Integrare numerică
Cuadraturi adaptive
Cuadraturi . . .
Cuadraturi . . .
Formule . . .
Home Page
Title Page
◭◭ ◮◮
◭ ◮
Page 51 of 58
Go Back
Full Screen
Close
Quit
7.1. Proprietăt¸i ale cuadraturilor gaussiene
Regula de cuadratură a lui Gauss, dată de (32) ¸si (38), pe
lângă faptul că este optimală (adică are grad maxim de exactitate)
are ¸si unele proprietăt¸i interesante.
(i) Toate nodurile sunt reale distincte ¸si situate în intervalul
deschis (a, b). Aceasta este o proprietate cunoscută satisfăcută
de zerourile polinoamelor ortogonale.
(ii) Tot¸i coeficient¸ii (ponderile) wk sunt pozitivi. Demonstrat¸ia
se bazează pe o observat¸ie ingenioasă a lui Stieltjes
0 <
b
a
ℓ 2 j (t)w(t)dt =
n
wkℓ 2 j (tk) = wj, j = 1, 2, . . . , n,
k=1
prima egalitate rezultând din faptul că gradul de exactitate este
d = 2n − 1.
(iii) Dacă [a, b] este mărginit, atunci formula lui Gauss converge
pentru orice funct¸ie continuă. Adică Rn(f) → 0, când n → ∞,
pentru orice f ∈ C[a, b]. cf. T. lui Weierstrass , dacă p2n−1(f; ·)
este p.c.m.b.a a lui f pe [a, b] în sensul · ∞, atunci
lim
n→∞ f(·) − p2k−1(f; ·)∞ = 0.