Aproximarea functionalelor liniare

Introducere
Derivare numerică
Integrare numerică
Cuadraturi adaptive
Cuadraturi . . .
Cuadraturi . . .
Formule . . .
Home Page
Title Page
◭◭ ◮◮
◭ ◮
Page 48 of 58
Go Back
Full Screen
Close
Quit
Condit¸ia din (b) impune k condit¸ii asupra nodurilor t1, t2, . . . , tn
din (32). (Dacă k = 0, nu avem nici o restrict¸ie, deoarece a¸sa cum
¸stim putem atinge gradul de exactitate d = n − 1). Într-adevăr
un trebuie să fie ortogonale pe Pk−1 relativ la funct¸ia pondere w.
Deoarece w(t) ≥ 0, avem în mod necesar k ≤ n. Altfel, un trebuie
să fie ortogonal pe Pn, în particular pe el însu¸si, ceea ce este
imposibil. Astfel k = n este optimal, obt¸inându-se o formulă de
cuadratură cu gradul maxim de exactitate dmax = 2n − 1. Condit¸ia
(b) impune ortogonalitatea lui un pe toate polinoamele de grad
mai mic, adică un(·) = πn(·, w) este polinomul ortogonal în raport
cu ponderea w. Această formulă optimală se nume¸ste formulă
de cuadratură de tip Gauss asociată cu funct¸ia pondere w. Deci
nodurile ei sunt zerourile lui πn(·, w), iar ponderile (coeficient¸ii)
wk sunt dat¸i de (35) adică
πn(tk; w) = 0
b
wk =
a
πn(t, w)
(t − tk)π ′ w(t)dt, k = 1, 2, . . . , n (38)
n(tk, w)
Formula a fost dezvoltată de Gauss în 1814 în cazul special
w(t) ≡ 1 pe [−1, 1] ¸si extinsă la funct¸ii pondere mai generale de
către Christoffel în 1877. De aceea se mai nume¸ste formulă de
cuadratură Gauss-Christoffel .