Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

92 Interpolare
Rezolvând sistemul se obt¸ine
(B2f)(x) = (2x−h)(3h−2x)
f
8h
′ (0)+f
(B2f)(x) = b01(x)f ′ (0)+b10(x)f
h
2
+ 4x2 −h2 f
8h
′ (h)
h
+b21(x)f
2
′ (h)
b01(x) = (2x−h)(3h−2x)
8h2 , b10(x) = 1, b21(x) = 4x2 −h2 8h
h
(R2f)(x) =
0
ϕ2(x;s)f ′′′ (s)ds
ϕ2(x;s) = 1
2 {(x−s)2 −b01(x)[(0−s) 2 + ]+b10(x)
h
2 −s
= 1
(x−s)
2
2
h
+ −
2 −s
2 − 4x2 −h2
(h−s) .
4h
+
ϕ2(x;s) ≥ 0 dacă x ∈ 0, h
, s ∈ [0,h]
2
h
ϕ2(x;s] ≤ 0 pentru x ∈
2 ,h
, s ∈ [0,h]
Pentru x ∈ [0,h], ϕ2(x,·) are semn constant pe[0,h]
(R2f)(x) = f ′′′ (ξ)
b
a
2 −S21[(h−s)
+
2 + ]′
(x;s)ds = (2x−h)(2x2 −2hx−h 2 )
f
24
′′′ (ξ), 0 ≤ ξ ≤ h
Problema 6.4.3 Să se determine un polinom de grad minim care verifică
P(0) = f(0), P ′ (h) = f ′ (h), P ′′ (2h) = f ′′ (2h),
unde f ∈ C 3 [0,2h] (Problema Abel-Goncearov cu două noduri). Dat¸i expresia
restului.
Solut¸ie. Din condit¸iile de interpolare se obt¸ine
P(x) = f′′ (2h)
x
2
2 +[f ′ (h)−hf ′′ (2h)]x+f(0)