Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

6.4. Interpolare Birkhoff 91
6.4 Interpolare Birkhoff
Problema 6.4.1 Dându-se f ∈ C2 [0,h], h > 0 să se determine un polinom de
grad minimB astfel încât
B(0) = f(0)
(6.1)
Să se dea expresia restului.
B ′ (h) = f ′ (h).
Solut¸ie. m = 1, r0 = 0, r1 = 1, I0 = {0}, I1 = {1}, n = 1
Solut¸ia există s¸i este unică.
(6.1) ⇒ ∆ = 0 1
1 0 = 1 = 0
(B1f)(x) = b00(x)f(0)+b11(x)f ′ (h)
(B1f)(x) = f(0)+xf ′ (h)
b00(x) = Ax+b b11(x) = Cx+D
b00(x) = 1 b11(x) = x
Pentru rest se aplică teorema lui Peano.
(R1f)(x) =
h
ϕ1(x;s) = (x−s)+ −x =
0
ϕ1(x;s)f ′′ (s)ds
−x x ≤ s
−s x > s
ϕ1(x;s) ≤ 0, ∀x,s ∈ [0,h]
(R1f)(x) = E(x)f ′′ (ξ), ξ ∈ [0,h]
E(x) = x2
2 −hx R1f∞ ≤ h
2 f′′ ∞
Problema 6.4.2 Pentru f ∈ C 3 [0,h], h ∈ R+, m = 2, r0 = 1, r1 = 0, r2 =
1, I0 = I = {1}, I1 = {0} să se construiască formula de interpolare Birkhoff
corespunzătoare.
Solut¸ie.
⎧
⎨
⎩
P(x) = a0x 2 +a1x+a2
P ′ (0) = a1 = f ′ (0)
P
h h
= 2
2
4 a0 + h
2a1 +a2 = f
h
2
P ′ (h) = 2ha0 +a1 = f ′ (h)