Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

90 Interpolare
unde
Solut¸ie. a)
Kn(x,t) = 1
n!
dar
Pe de altă parte
=
En = (R−nf)(x) =
(x−t) n + −
n
i=0
b
a
li(x)(xi −t) n +
Kn(x,t)f (n+1) (t)dt
= 1
n!
n
[(x−t) n +−(xi−t) n +li(x)
b
[(x−t)
a
n + −(xi −t) n + ]f(n+1) (t)dt =
x
[(x−t)
c
n −(xi −t) n ]f (n+1) x
(t)dt+ (xi −t)
xi
n f (n+1) (t)dt
n
i=0
i=0
[(x−t) n −(xi −t) n ]li(x) = 0
conform relat¸iei lui Cauchy.
b)
K1(x,t) = 0 dacă t ∈ (x0,x1)
căci
K1(t) = (x−t)+ −(x0 −t)+l0(x)+(x1 −t)+l1(x)
l0(x) = x−x1
x0 −x1
= x1 −x
x1 −x0
⎧
⎪⎨
(x−x1)(t−x0)
x1 −x0
K1(x,t) =
⎪⎩
(t−x1)(x−x0)
x1 −x0
l1(x) = x−x0
x1 −x0
t ∈ [x0,x]
t ∈ [x,x1]
K1(x,t) ≤ 0 t.medie
⇒ E1(x) = (x−x0)(x−x1)
f
2
′′ (x)
c) Scriind căp1 = 0 este polinomul de interpolare al luiucu nodurilex0 s¸ix1
obt¸inem
u(x)−p1(x) =
x1
x0
k1(x,t)u ′′ (t)dt =
x1
p1(x0) = u(x0) = 0 = p1(x1) = u(x1)
x0
k1(x,t)g(t)dt
Se verifică us¸or că problema la limită admite efectiv o solut¸ie. K1 se numes¸te
funct¸ia lui Green a problemei la limită.