Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

88 Interpolare
Problema 6.3.5 Se consideră f : [−1,1] → R. Se notează cu F2n+1f polinomul
Hermite cu noduri duble determinat de condit¸iile
(F2m+1f)(xk) = f(xk), k = 0,m
(F2m+1f) ′ (xk) = 0.
Să se arate că dacăx0,x1,...,xm sunt rădăcinile polinomului lui Cebâs¸ev de
spet¸a I avem:
-
Solut¸ie.
(F2m+1f)(x) =
1−(x−xk) u′ k (xk)
uk(xk)
1
(m+1) 2
m
2 Tm+1(x)
(1−xkx) f(xk).
x−xk
k=0
hk0(x) = uk(x)
1−(x−xk)
uk(xk)
u′
(xk)
uk(xk)
w(x) = (x−x0)(x−x1)...(x−xm)
uk(x) = w2
(x) 1
=
(x−xk) 2 2m 2 Tm+1(x)
x−xk
1 1
= (x−xk) + +···+
x−xk x0 −xk
uk(xk) = w ′2 (xk)
u ′ k (xk) = w ′ (xk)w ′′ (xk)
(−1) k
2 1−x k
w ′′ (x) = m+1
2m
xsin[(m+1)arccosx]−
w ′ (xk) = m+1
2 m
(m+1) √ 1−x 2 √ 3 cos[(m+1)arccosx] / 1−x 2
w ′′ (xk) = m+1
2 m
hk0(x) =
1
2 m
Tm+1(x)
x−xk
(−1) kxk 3 1−x 2 k
2
1−(x−xk) w′ (xk)w ′′ (xk)
w ′2 (xk)
1
w ′2 (xk)
=
1
xn −xk