Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

6.3. Interpolare Hermite 87
u ′ 2 (x) = 2(x+1)x2 +2(x+1) 2 x = 2(x+1)x(2x+1)
u ′ 2 (1) = 2·2·1·3 = 12
h20(x) = (x+1)2 x2
1−(x−1)
4
12
=
4
(x+1)2 x2 [−3x+4]
4
h21(x) = (x−1)(x+1)2 x 2
4
Problema 6.3.3 Să se arate că pentru PIH cu noduri duble avem
hk0(x) = [1−2(x−xk)l ′ k (xk)]l 2 k (x)
hk1(x) = (x−xk)l 2 k (x)
undelk sunt polinoamele fundamentale Lagrange.
Problema 6.3.4 Să se determine PIH pentrux0 = a, x1 = b, m = 1, r0 = r1 =
1.
Solut¸ie. Se poate aplica formula cu noduri duble sau generalizarea formulei
lui Taylor.
u0 = (x−b) 2 u1 = (x−a) 2
h00(x) = (x−b)2
(a−b) 2
1−(x−a) 2(a−b)
(a−b) 2
= (x−b)2
(a−b) 2
a−b−2x+2a
=
a−b
(x−b)2
(a−b) 3[3a−b−2x]
h01(x) = (x−a) (x−b)2
(a−b) 2
h10(x) = (x−a)2
(b−a) 3[3b−a−2x]
2 x−a
h11(x) = (x−b)
b−a
(H3f)(x) = h00(x)f(a)+h01(x)f ′ (a)+h10(x)f(b)+h11(x)f ′ (b)