Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

se obt¸ine pentru valoarea derivatei de ordinuln+1în 0
(arctanx) (n+1) = x=0 1
2i (−1)n
1 1
n! −
(x−i) n+1 (x+i) n+1
x=0
=
(−1) n+1
1 1
n! −
(−i) n+1 (i) n+1
= (−1) n+1 n!sin(n+1) π
2 .
Formula MacLaurin corespunzătoare este
arctanx = x− x3
3
Raza de convergent¸ă este
+ x5
5
R = lim
n→∞
+... x2n+1
2n+1 +(Rn+1f)(x).
an
an+1
= 1.
Problema 1.0.4 Să se determine punctele de maxim s¸i de minim ale următoarelor
funct¸ii:
a) f : − 1
1
6 3 , → R,f(x) = 2x −x +3;
2 2
b) f : R → R, f(x) = 2cosx+x 2 .
Solut¸ie.
a) f ′ (x) = 12x 5 −3x 2 = 3x 2 (4x 3 −1) are rădăcinile realex1,2 = 0 s¸ix3,4,5 =
1
3√ 4 .
f ′′ (x) = 60x 4 −6x, f ′′ (0) = 0,
f ′′′ (x) = 240x 3 −6 = 6(40x 3 −1), f ′′′ (0) = −6 ⇒ 0 punct de inflexiune.
Funct¸ia nu are puncte de extrem pe − 1
2
, 1
2
b) f ′ (x) = −2sinx+x = 2(x−sinx), f ′ (0) = 0,
f ′′ (x) = −2cosx+2 = 2(1−cosx), f ′′ (0) = 0
f ′′′ (x) = 2sinx, f ′′′ (0) = 0,
f IV (x) = 2cosx, f IV (0) = 2.
x = 0 este punct de minim s¸i f(0) = 2.
Problema 1.0.5 Să se determine numărul natural n astfel ca pentru a = 0 s¸i
f : R → R, f(x) = e x Tnf să aproximezef în[−1,1] cu trei zecimale exacte.
.
5