Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

84 Interpolare
b = a+1
x−a = q
|(R1f)(x)| < 1
2 |q(q−1) |M2(f)
≤ 1
4
|R1f| ≤ 1
16 ·10−6 < 10 −7
deci precizia nu este alterată.
Problema 6.2.5 Relativ la funct¸ia sin se alcătuies¸te următoarea tabelă cu diferent¸e
x ∆ 0 = y ∆f ∆ 2 f ∆ 3 f ∆ 4 f
39 ◦ 0.6293204 267386 −7992 −318 13
41 ◦ 0.6560590 259354 −8310 −305 10
43 ◦ 0.6819984 251084 −8615 −295 10
45 ◦ 0.7071068 242469 −8910 −285
47 ◦ 0.7313597 233559 −9195
49 ◦ 0.7547096 224364
51 ◦ 0.7771460
Să se aproximeze sin40 ◦ , sin50 ◦ , sin44 ◦ cu formula Gregory-Newton pentru
m = 4.
(Nmf)(t) =
m
i=0
t
∆
k
k hf(x0) (Rmf)(x0 +th) = hm+1 t [m+1]
(m+1)! f(m+1) (ξ)
f(x) ≈ f0 +t∆f0 + t(t−1)
2 ∆2f0 + t(t−1)(t−2)
∆
6
3 f0+
+ t(t−1)(t−2)(t−3)
∆
24
4 f0 +R4
sin40 ◦ ≈ 0.6293204+ 1 1
·0.0267386−
2 8 (−0.0007992)+
+ 1 5
(−0.0000318)− ·0.0000013 = 0.6427876
16 64
|(R4f)(t)| ≤ h 5 t(t−1)(t−2)(t−3)(t−4)f (5) (ξ) < 0.0000000028
sin50 ◦ se poate aproxima cu formula lui Newton cu diferent¸e regresive.
sin44 ◦ se poate aproxima cu formula lui Stirling.