Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

6.2. Interpolare Lagrange 83
(a) (L1f)
f
L 1 (x)
(b) (L2f)
Figura 6.1: Interpretarea geometrică a lui L1f (stânga) si ¸ L2f
Problema 6.2.3 Cu ce eroare se poate calcula √ 115 cu ajutorul formulei de
interpolare a lui Lagrange, considerând funct¸ia f(x) = √ x s¸i nodurile x0 =
100, x1 = 121, x2 = 144?
|(R1f)(115)| ≤ 3
8 ·
(R2f)(x) = (x−100)(x−121)(x−144)
f
6
′′′ (ξ)
1
√ 100 5
f ′′′ (x) = 3
8 x−52
1
· |(115−100)(115−121)(115−144)| =
6
= 1
16 ·10−5 ·15·6·29 ≈ 1·6·10 −3
Problema 6.2.4 În tabelele cu 5 zecimale corecte se dau logaritmii zecimali ai
numerelor de la x = 1000 la x = 10000 cu eroarea absolută maximă egală cu
1
2 ·10−5 . Este posibil ca interpolarea liniară să conducă la o aceeas¸i precizie?
Solut¸ie.
f(x) = lgx f ′ (x) = M
x
M = lge ≈ 0.4343
f ′′ (x) = − M
x 2
|(R1f)(x)| ≤ (x−a)(x−b)
M2f
2
M2(f) = max|f ′′ (x)| < 1
2 ·10−6
a < x < a+1
f
L 2 (x)