Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

82 Interpolare
Dacă f ∈ C n+1 [a,b] s¸i ϕn are semn constant pe[a,b]
(Rnf)(x) = E(x)f (n+1) (ξ) ξ ∈ [a,b]
E(x) = xn+1
(n+1)! −
m
6.2 Interpolare Lagrange
1
(n−j +1)!
k=0 j∈Ik
xn−j+1
k bkj(x)
Problema 6.2.1 Să se scrie formula de interpolare a lui Lagrange în cazurile
specialem = 1 s¸i m = 2. Interpretare geometrică.
Solut¸ie. Polinomul de interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸ii f s¸i
nodurilorx0 s¸i x1 este
(L1f)(x) = x−x1
f(x0)+
x0 −x1
x−x0
f(x1),
x1 −x0
adică dreapta care trece prin punctele (x0,f(x0)) s¸i (x1,f(x1)). Analog, polinomul
de interpolare Lagrange corespunzător unei funct¸iif s¸i nodurilorx0,x1 s¸i x2
este
(L2f)(x) = (x−x1)(x−x2) (x−x0)(x−x2)
f(x0)+
(x0 −x1)(x0 −x2) (x1 −x0)(x1 −x2) f(x1)+
(x−x0)(x−x1)
(x2 −x0)(x2 −x1) f(x2),
adică parabola care trece prin punctele (x0,f(x0)), (x1,f(x1)) s¸i (x2,f(x2)). Interpretarea
lor geometrică apare în figura 6.1.
Problema 6.2.2 Construit¸i polinomul de interpolare Lagrange pentru funct¸iay =
sinπx alegândx0 = 0, x1 = 1
6 , x2 = 1
2 .
Solut¸ie.
(L2y)(x) = 7
2 x−3x2 ,
(R2y)(x) = xx− 1
1 x− 6 2 πcosπξ,ξ ∈
3!
0, 1
.
2