Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

4 Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii
• dacă n = 2k +1s¸i a este un punct interior, atunci a este un punct de
inflexiune.
II. Calculul aproximativ al funct¸iilor în unul din următoarele moduri:
(a) Fiind dat un punctx ∈ I, să se determine un număr naturaln(cât mai
mic posibil) astfel încât
|f(x)−(Tnf)(x)| < ε.
(b) Să se determină n astfel încât inegalitatea |f(x) − (Tnf)(x)| < ε să
fie satisfăcută în toate punctele unui interval.
(c) Fiind dat un număr natural n să se determine intervalul în care are loc
inegalitatea anterioară.
III. La calculul unor limite.
IV. La deducerea unor metode numerice.
Problema 1.0.2 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸iaf : [−a,∞) →
R,f(x) = √ a+x,a > 0.
Solut¸ie. Scriem f(x) = √ a+x = √ a 1+ x
; se obt¸ine a
f(x) = √
a
1+ 1
2
x 1
+(−1)1
a 22 1
2!
x
2 2 1
+(−1)
a 23 +(−1) n−11·3·5...(2n−3)
n!2 n
1
x
3! a
x
a
3
n
+...
+(Rnf)(x) .
Problema 1.0.3 Să se scrie formula lui MacLaurin pentru funct¸ia f : R → R,
f(x) = arctanx. Care este raza de convergent¸ă?
Solut¸ie. Pornim de la
Folosind apoi formula
(arctanx) ′ = 1 1
=
1+x 2 2i
1 1
− .
x−i x+i
dn dxn
1
=
x+a
(−1)nn! (x+a) n+1,