Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

m−1
+ (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+
k=1
+(xm −x0)[x0,...,xm;f][xm;g]
=
m
[x0,...,k;f][xk,...,xm;g]
k=0
Observat¸ia 5.0.22 Diferent¸a divizată se poate introduce ca s¸i coeficient dominant
în PIL.
Problema 5.0.23 (Aplicat¸ie) O modalitate rapidă de a calcula valorile unui polinom
de grad 3 în puncte echidistante folosind diferent¸e divizate.
∆ 3 P(0)
P(x) = ax 3 +bx 2 +cx+d
∆P(x) = P(x+h)−P(x) ⇒ P(x+h) = P(x)+∆P(x)
∆ 2 P(x) = ∆P(x+h)−∆P(x)
∆P(x+h) = ∆P(x)+∆ 2 P(x)
∆ 3 P(x) = ∆ 2 P(x+h)−∆ 2 P(x)
∆ 2 P(x+h) = ∆ 2 P(x)+∆ 3 P(x)
∆ 3 P(x) = 6ah 3
∆P(0) = ah 3 +bh 2 +ch = h(h(ah+b)+c)
∆ 2 P(0) = P(2h)−2P(h)+P(0) =
= 8ah 3 +4bh 2 +2ch+d−2ah 3 −2bh 2 −2ch−2d+d =
= 6ah 3 +2bh 2 = 2h 2 (3ah+b)
∆k,i+1 = ∆k−1,i +∆k−1,i+1
Problema 5.0.24 Dacă f,g : M → R are loc
(∆ m h
fg)(a) =
m
i=0
=
m
(∆
i
i hf)(a)(∆m−i h g)(a+ih)
75