Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

74 Calculul cu diferent¸e
Problema 5.0.21 Dacăf,g : X → R, atunci
=
[x0,...,xm;fg] =
m
[x0,...,xk][xk,...,xm;g]
k=0
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie dupăm
m = 1
[x0,x1;fg] = f(x0)[x0,x1;g]+[x0,x1;f]g(x1) =
= f(x0) g(x1)−g(x0)
x1 −x0
+ f(x1)−f(x0)
g(x1) =
x1 −x0
= f(x1)g(x1)−f(x0)g(x0)
x1 −x0
Presupunem relat¸ia adevărată pentru m−1, adică
m−1
[x0,...,xm−1;fg] = [x0,...,xk;f][xk,...,xm−1;g]
[x0,...,xn;fg] def
=
1
xm −x0
1
xm −x0
k=0
([x1,...,xm;fg]−[x0,...,xm−1;fg]) =
m−1
([x1,...,xk+1;f][xk+1,...,xn;g]−[x0,...,xk;f][xk,...,xn−1;g])
k=0
Adunând s¸i scăzând sub simbolul de însumare[x0,...,xk;f][xk+1,...,xm;g]
s¸i grupând convenabil se obt¸ine
[x0,...,xm;fg] =
k=0
1
xm −x0
m−1
[x0,...,xk;f]([xk+1,...,xm;g]−[xk,...,xm−1;g])+
k=0
m−1
+ [xk+1,...,xn;g]([x1,...,xk+1;f]−[x0,...,xkf]) =
=
1
xn −x0
+
=
m−1
(xm −xk)[x0,...,xk;f][xk,...,xm;g]+
k=0
m
(xk −x0)[x0,...,xn;f][xk,...,xn;g] =
k=1
1
xn −x0
(xm −x0)[x0;f][x0,...,xn;g]+