Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

72 Calculul cu diferent¸e
Solut¸ie. Dacă F este o solut¸ie a ecuat¸iei cu diferent¸e
are loc formula de sumare
∆hF(x) = f(x)
m
f(a+jh) = F[a+(m+1)h]−F(a)
j=0
∆hF(x) = F(x+h)−F(x) = x, x = a,a+h,...,a+mh
a+mh
x=a(h)
∆hF(x) = f(x), F(x) = u(x)v(x)
∆hu(x)v(x) = u(x)∆hv(x)+∆hu(x)v(x+h)
u(x)∆hv(x)+
a+mh
x=a(h)
v(x+h)∆hu(x) = u(x)v(x)
u(x) = x, ∆v(x) = b x ⇒ v(x) = bx
m
x=0
b−1
xb x = x bx
m+1
0
−
m
x=0
b−1
b x
b−1 =
a+(m+1)h
a
= (m+1) bm+1 1
−
b−1 b−1 (b+b2 +···+b m+1 ) = (m+1) bm+1
b−1 − bm+2 −b
(b−1) 2
−cos x−
u(x) = x, ∆v(x) = sinx ⇒ v(x) =
h
2
2sin h
2
a+mh cos x−
xsinx = −x
x=a
h
2
2sin h
a+(m+1)h
a+mh
cos x+
+
a x=a
2
h
2
2sin h
2
Deoarece ∆hF(x) = cos x+ h
este satisfăcută pentru F(x) =
2
sinx
2sin h
2
rezultă că avem
a+mh
cos x+
x=a
h
=
2
sinx
2sin h
a+(m+1)h
a
2