Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Problema 5.0.15 Să se stabilească generalizarea formulei lui Leibniz prin calcul
simbolic.
Solut¸ie. Eh operator de translat¸ie ce are efect numai asupra luiu
Eh operator de translat¸ie ce are efect numai asupra luiv
∆hu(x)v(x) = u(x+h)v(x+h)−u(x)v(x) =
= (EhEh −I)u(x)v(x)
∆h = EE −I
∆h operator de diferent¸ă ce are efect asupra lui u
∆h operator de diferent¸ă ce are efect asupra lui v
En = I +∆h ∆h = Eh −I
∆h = ∆hEh +∆h
m
∆ m h = (∆hEh +∆h) m =
∆ m h u(x)v(x) =
∆ m h
m
j=0
(a+b) [m,j] =
j=0
∆ j
h ∆m−j
h Ej
h
m
∆
j
j
hu(x)∆m−j h v(x+jh)
m
j=0
m
a
j
[m−j,h] b [j,h]
[a,a+h,...,a+nh;f] = 1
(fg)(a) =
m
i=0
n!h n∆m h f(a)
m
∆
i
i hf(a)∆m−i h g(a+ih)
Problema 5.0.16 Să se demonstreze formula de sumare prin părt¸i.
a+mh
x=a(h)
u(x)∆hv(x) = u(x)v(x)
Să se calculeze
m
xb x
x=0
(b > 0, b = 1),
a+(m+1)h
a
−
a+mh
x=a
v(x+h)∆hu(x)
m
v(x+h)∆hh(x)
x=0
71