Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Definit¸ia 5.0.9 Prederivata de ordinulmcu pasulhafunct¸iei f în a este
D m h f(a) = ∆m h f(a)
h m
D 0 nf(a) = f(a)
Problema 5.0.10 Dacăf are derivată de ordinulmcontinuă pe(a,a+mh) are
loc
D m h f(a) = f (m) (a+θmh), θ ∈ (0,1)
Demonstrat¸ie. Prin induct¸ie.
Dhf(a) = f(a+h)−f(a)
h
= f ′ (ξ1), ξ1 ∈ (a,a+h)
D m−1
h f(a) = f (m−1) (ξm−1)|Dh, ξm−1 ∈ (a,a−(m−1)h)
D m h
f(a) = 1
h [f(m−1) (ξm−1 +h)−f (m−1) (ξm−1)] = f (m) (ξm)
ξm ∈ (a,a+mh) ⇒ ξm = a+θmh, θ ∈ (0,1)
Corolar 5.0.11 f (m) continuă în a ⇒ lim
h→0 D m h (a) = f(m) (a).
Problema 5.0.12 Să se demonstreze formulele
∆ m
h cos(ax+b) = 2sin ah
m
cos ax+b+m
2
ah+π
2
∆ m
h sin(ax+b) = 2sin ah
m
sin ax+b+m
2
ah+π
2
Să se deducă de aici expresiile prederivatelor de ordinulmale funct¸iilorcosx,
sinx s¸i să se calculeze limitele lor când h → 0.
Solut¸ie.
∆hcos(ax+b) = cos[a(x+h)+b]−cos(ax+h) =
= 02sin ah
2 sin
ax+b+ ah
=
2
= 2sin ah
2 cos
∆h π +ah
ax+b+ den−1ori
2
69