Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

68 Calculul cu diferent¸e
Problema 5.0.7 Aplicat¸ie. Vom stabili o formulă explicită pentru calculul sumei
Sm,r = 1 r +2 r +3 r +···+m r
cu ajutorul diferent¸elor lui 0.
r
m+1
Sm,r = ∆
i+1
i=1
i 0 r
p
p
f(ap) = ∆
k
j=0
k hf(a) ∆m m
h f(a) = (−1)
i=0
m−i
m
f(a+ih)
i
f(x) = xr pr p
p
= f(p) = ∆
k
k=0
k 0 r , p = 1,2,...,m
1r
1
= ∆
0
0 0 r
1
+ ∆
1
1 0 r
2r
2
= ∆
0
0 0 r
2
+ ∆
1
1 0 r
2
+ ∆
2
2 0 r
...
mr
m
= ∆
0
0 0 r
m
+ ∆
1
1 0 r
m
+···+ ∆
m
m 0 r
m
j j +1 m
Sm,r = + +···+ ∆
j j j
j 0 r =
j=1
j=1
Deoarece dacă m > r, ∆o0r = 0 pentru j = r +1,m iar pentru m < r,
r
m+1
∆
j +1
j 0 r
m+1
= 0, pentru j = m+1,m+2,...,r.
j +1
Cazuri particulare
m+1 m+1
Sm,1 = ∆0 = =
2 2
m(m+1)
, ∆0 = 1
2
2 m+1 ∆0
Sm,2 =
2 1 +
2 2 m+1 ∆ 0 m(m+1)(2m+1)
=
3 2 6
3 m+1 ∆0
Sm,3 =
2 1 +
2 3 m+1 ∆ 0
3 6 +
3 3 m+1 ∆ 0
4 6 =
m(m+1)
2
Problema 5.0.8 Să se demonstreze formula
(prin induct¸ie).
∆ m h
1
x =
(−1) m m!h m
x(x+h)...(x+mh)
2