Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

(restul în forma lui Cauchy)
(Rnf)(x) =
b
a
(x−t) n
f
n!
(n+1) (t)dt
(restul în formă integrală.
Dacă în formula lui Taylor se iaa = 0, se obt¸ine formula lui MacLaurin
unde
f(x) = f(0)+xf ′ (0)+···+ xn
n! f(n) (0)+(Rnf)(x),
(Rnf)(x) = xn+1
(n+1)! f(n+1) (θx), θ ∈ (0,1).
Dăm formulele lui Taylor (MacLaurin) pentru câteva funct¸ii uzuale
e x = 1+x+ x2
2!
sinx = x− x3
3!
cosx = 1− x2
2!
+···+ xn
n! +Rn(x); (1.1)
+ x5
5!
+ x4
4!
+···+(−1)n x2n+1
(2n+1)! +R2n+1(x); (1.2)
+···+(−1)n x2n
(2n)! +R2n(x); (1.3)
x3 xn
+ +···+(−1)n
ln(1+x) = x− x2
2 3 n+1 +Rn+1(x); (1.4)
(1+x) k
k k
= 1+ x+ x
1 2
2
k
+···+ x
n
n +Rn(x), (1.5)
unde
k
=
n
k(k −1)...(k −n+1)
Aplicat¸ii
.
n!
I. La determinarea punctelor de extrem s¸i inflexiune ale unor funct¸ii.
Teorema 1.0.1 Fief : I → R s¸i a ∈ I. Dacă f admite derivată de ordinul
n peI, continuă peI, s¸i dacă
atunci
f ′ (a) = f ′′ (a) = ··· = f (n−1) (a) = 0 s¸i f (n) (a) = 0
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) < 0, atunciaeste un punct de maxim relativ;
• dacăn = 2k s¸i f (n) (a) > 0, atunciaeste un punct de minim relativ;
3