Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

62 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
adică
Ax∞ ≤ max
1≤i≤n
n
|aij|, ∀ x ∈ R n , x∞
j=1
Am = max ≤ max
x∞=1 1≤i≤n
Fiep ∈ N, 1 ≤ p ≤ n astfel încât
Alegemxastfel încât
n
j=1
xj =
|apj| = max
1≤i≤n
n
j=1
n
|aij| (4.5)
j=1
|aij|
1 dacă apj ≥ 0
−1 dacă apj < 0
x∞ = 1, apjxj = |apj|, ∀j = 1,n
n
Ax∞ = max aijxj
1≤i≤n
≥
n
apjxj
=
n
|apj| = max
(4.5),(4.6) ⇒ ” = ”.
j=1
j=1
j=1
Am = max Ax∞ ≥ max
x∞=1 1≤i≤n
Problema 4.3.2 Să se arate că l-norma
este naturală.
Solut¸ie.
Al = max
1≤j≤n
Al := max Ax1
x1=1
Fiex ∈ Rn astfel încât x1 = 1
n n
n
Ax1 = |(Ax)i| =
i=1
i=1
j=1
aijxj
≤
n
i=1
|aij|
?
= max
1≤j≤n
n
i=1
n
|aij|,
j=1
n
|aij| (4.6)
j=1
n
i=1
|aij|
n
|aij||xj| =
j=1
n
j=1
n
|aij||xj| =
i=1