Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

60 Rezolvarea numerică a sistemelor algebrice liniare
Deci
Solut¸ie. Avem
⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡
1 1 1 1 3 2 4 2 3 2 4 2
⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2 1 1 2 ⎦ ∼ ⎣ 2
3 2 4 2 1 1 1 1
1 1 2 2
1 1
⎤
⎦
1 1 2
⎡
3 2 4 2
⎣ 2 1
⎤ ⎡
3 2 4 2
−1 1 ⎦
2 ∼ ⎣ 2
−1 0
1
⎤ ⎡
3 2 4 2
−1 1 ⎦
2 ∼ ⎣ 2 1
−1 1 2
1 1
2
1 1
2 1 0
⎡ ⎤
1 0 0
L = ⎣ 1
1 0 ⎦
2
1 1 1 2
⎡ ⎤
2 4 2
U = ⎣ 0 −1 1 ⎦
0 0 −1
⎡ ⎤
0 0 1
P = ⎣ 0 1 0 ⎦.
1 0 0
Sistemele triunghiulare corespunzătoare sunt
⎡ ⎤ ⎡
1 0 0
⎣ 1 1 0 ⎦y 2 = Pb = ⎣
1 1
cu solut¸iay = [8,0,−1] T s¸i
⎡
2 4
⎤
2
⎡
⎣ 0 −1 1 ⎦x = ⎣
0 0 −1
cu solut¸iax = [1,1,1] T .
1
2
8
4
3
1 1
2 1 −1
Problema 4.2.6 Arătat¸i că orice matrice diagonal dominantă este nesingulară.
Solut¸ie. Fie sistemul Ax = 0. Presupunem că are solut¸ie nebanală. Există k
astfel încât 0 < |xk| = max
1≤j≤n |xj| = x1
Deoarece
n
aijxj = 0, pentru i = k
j=1
8
0
−1
⎤
⎦,
⎤
⎦,
⎤
⎦.