Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

4.2. Descompunere LUP 59
cu solut¸iay = [4,2,1] T s¸i respectiv
⎧
⎨ x1 +2x2 +x3
cu solut¸iax = [1,1,1] T .
⎩
x2 +x3
Problema 4.2.4 Calculat¸i descompunerea QR a matricei
x2
A =
x3
3 1
4 1
Solut¸ie. Reflexia pentru prima coloană este P = I − 2uuT . Vectorul u se
determină astfel:
x1 +sign(x1)x
ũ =
2 3+5 8
= = ;
4 4
ũ 2 = √ 8 2 +4 2
u = ũ
ũ 2
=
8
4
Matricea de reflexie este
1 0
P = −2
0 1
4 1 0
= −2
0 1
Se obt¸ine
3
−
Q = 5 −4
5
−4
3
5 5
3
−
R = P ·A =
− 4
5
/4 √ 5 =
√ 5
2
5√
5
5
2
5 5
2 1
5 5
5 −4
5
3
5
·
·
=
=
=
.
√ 5
2
5√
5
5
√ 5
2
5√
5
5
4
2
1
3 −
=
3 1
4 1
Problema 4.2.5 Rezolvat¸i sistemul
⎡ ⎤ ⎡
1 1 1
⎣ 1 1 2 ⎦x = ⎣
2 4 2
prin descompunere LUP.
− 4
5
.
T
=
5 −4
5
=
3
4
8
⎤
⎦
3
5
= Q T ,
−5 − 7
5
0 − 1
5
.