Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Capitolul 1
Formula lui Taylor s¸i aplicat¸ii
Fie I un interval s¸i f : I → R o funct¸ie derivabilă de n ori în punctul a ∈ I.
Polinomul
(Tnf)(x) = f(a)+ x−a
1! f′ (a)+···+ (x−a)n
f
n!
(n) (a)
se numes¸te polinomul lui Taylor de gradul n, atas¸at funct¸iei f în punctula.
Cantitatea
(Rnf)(x) = f(x)−(Tnf)(x)
se numes¸te restul de ordinulnal formulei lui Taylor în punctulx.
Formula
f(x) = (Tnf)(x)+(Rnf)(x)
sau
f(x) = f(a)+ x−a
1!
f(a)+ (x−a)2
2!
f ′′ (a)+···+ (x−a)n
f
n!
(n) (a)+(Rnf)(x)
se numes¸te formula lui Taylor de ordinul n pentru funct¸ia f în vecinătatea punctuluia.
Pentru rest avem
(Rnf)(x) = (x−a)n
ω(x), cu limω(x)
= 0.
n! x→a
Dacăf ∈ C n+1 (I), atunci ∃θ ∈ (0,1) astfel încât
(restul în forma lui Lagrange)
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 f (n+1) [a+θ(x−a)]
(n+1)!
(Rnf)(x) = (x−a)n+1 (1−θ) n f (n+1) [a+θ(x−a)]
n!
2