Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

52 Teoria erorilor
obt¸ine
Deoarece p ′ (ξ) = 0, putem obt¸ine ∂ξ
∂aν
(condξ)(a) =
s¸i să înlocuim în (3.8) s¸i (3.9) pentru a
1
|ξp ′ n−1
(ξ)|
ν=0
|aν||ξ| ν
(3.10)
Vom ilustra (3.10) considerând un polinompde gradncu rădăcinile1,2,...,n
n
p(x) =
(3.11)
ν=1
(x−ν) = x n +an−1x n−1 +···+a0
Acesta este un exemplu faimos, datorat lui Wilkinson, care a descoperit proasta
condit¸ionare a anumitor zerouri aproape printr-un accident. Dacă luăm ξµ = µ,
µ = 1,2,...,n se poate arăta că
minµcondξµ = condξ1 ∼ n 2 când n → ∞
maxµcondξµ ∼ 1
(2− √ 2)πn
√ 2+1
√ 2−1
n
când n → ∞.
Cea mai prost condit¸ionată rădăcină este ξµ0 cu µ0 întregul cel mai apropiat
de n/ √ 2 când n este mare. Numărul său de condit¸ionare cres¸te ca (5.828...) n ,
deci exponent¸ial. De exemplu pentrun = 20condξµ0 = 0,540×10 14 .
Exemplul ne învat¸ă că rădăcinile unei ecuat¸ii algebrice scrise în forma (3.7) pot
fi extrem de sensibile la schimbări mici ale coeficient¸ilor. De aceea este contraindicat
să se exprime orice polinom cu ajutorul puterilor ca în (3.7) s¸i (3.11). Aceasta
este în particular adevărat pentru polinoamele caracteristice ale matricelor. Este
mult mai bine să lucrăm cu matricele însele s¸i să le reducem (prin transformări
de similaritate) la o formă care să permită obt¸inerea rapidă a valorilor proprii -
rădăcini ale ecuat¸iei caracteristice.
Problema 3.5.3 Presupunem că o rutină de bibliotecă pentru funct¸ia logaritmică
ne furnizeazăy = lnx pentru orice număr în virgulă flotantă,x, producând unyA
ce satisfaceyA = (1+ε)lnx, |ε| ≤ 5eps. Ce putem spune despre condit¸ionarea
algoritmuluiA?
Solut¸ie. Avem evident
yA = lnxA undexA = x 1+ε
(unic)
În consecint¸ă
xA
−x
x =
x
1+ε
−x
x = |xε −1| ≈ |εlnx| ≤ 5|lnx|eps
s¸i deci (condA)(x) ≤ 5|lnx|. Algoritmul A este bine condit¸ionat exceptând vecinătatea
dreaptă a lui x = 0 s¸i pentru x foarte mare. În ultimul caz, totus¸i, este
posibil caxsă dea depăs¸ire înainte caAsă devină prost condit¸ionat.