Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.5. Condit¸ionarea unei probleme 51
Problema este de a se determinaξ, dându-sep. Vectorul de date
a = [a0,a1,...,an−1] T ∈ R n
constă din coeficient¸ii polinomuluip, iar rezultatul esteξ, un număr real sau complex.
Astfel avem:
Care este condit¸ionarea luiξ?
Solut¸ie. Definim
γν = (condνξ)(a) =
ξ : R n → C, ξ = ξ(a0,a1,...,an−1)
aν ∂ξ
∂aν
ξ
Vom alege o normă convenabilă, de exemplu norma
n−1
γ1 := |γν|
,
ν = 0,1,...,n−1 (3.8)
ν=0
a vectoruluiγ = [γ0,...,γn−1] T , pentru a defini
n−1
(condξ)(a) = (condνξ)(a) (3.9)
ν=0
Pentru a determina derivatele part¸iale ale lui ξ în raport cu aν, observăm că
avem identitatea:
[ξ(a0,a1,...,an−1)] n +an−1[ξ(a0,a1,...,an−1)] n−1 +···+
+aν[ξ(a0,a1,...,an−1)] ν +···+a0 = 0.
Derivând în raport cu aν obt¸inem
n−1 ∂ξ
n[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν
n−2 ∂ξ
+an−1(n−1)[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν
+···+
ν−1 ∂ξ ∂ξ
+aνν[ξ(a0,a1,...,an−1)] +···+a1 +[ξ(a0,a1,...,an−1)]
∂aν ∂aν
ν ≡ 0
unde ultimul termen provine din derivarea produsuluiaνξ ν .
Ultima identitate se poate scrie
p ′ (ξ) ∂ξ
∂aν
+ξ ν = 0