Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

50 Teoria erorilor
yν → gn → yn
1
yν
−5 (condgn)(yν) =
yn
Pentru yν = Iν, avem folosind monotonia
I ∗ n −In
In
(condgn)(Iν) <
= (condgn)(Iν)
−ν−n
,
ν > n.
ν−n 1
, ν > n
5
I ∗ ν −Iν
Iν
<
ν−n 1
5
I ∗ ν −Iν
Dacă luămI ∗ ν = 0, comit¸ând o eroare de 100% în valoarea de pornire obt¸inem
eroarea relativă
I ∗ n −In
In
<
ν−n 1
, ν > n
5
Dacă alegemν suficient de mare, de exemplu
ν > n+
ln 1
ε
ln5
Iν
(3.5)
eroarea relativă este < ε. Avem deci următorul algoritm pentru calculul lui In: se
dă preciziaε, se alegen, cel mai mic întreg care satisface (3.5) s¸i se calculează
Inν ∗ = 0
I ∗ k−1
= 1
5
1
k −I∗
k , k = ν,ν −1,...,n+1
(3.6)
Aceasta va produce o aproximat¸ie suficient de precisă I ∗ n ≈ In chiar în prezent¸a
erorilor de rotunjire din (3.6).
Idei similare se pot aplica s¸i la problema mai importantă a calculării solut¸iilor
unor recurent¸e liniare de ordinul II, cum ar fi cele satisfăcute de funct¸iile Bessel
s¸i de multe alte funct¸ii ale fizicii matematice. Procedura recurent¸elor regresive
(retrograde) este strâns legată de teoria fract¸iilor continue.
Problema 3.5.2 (Condit¸ionarea ecuat¸iilor algebrice) Fie ecuat¸ia:
p(x) = x n +an−1x n−1 +···+a1x+a0 = 0, a0 = 0 (3.7)
s¸i ξ o rădăcină simplă a ei:
p(ξ) = 0, p ′ (ξ) = 0.