Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.5. Condit¸ionarea unei probleme 49
1
I0 =
0
dt
t+5
t
t+5
= ln(t+5)
= 1− 5
t+5
1
0
= ln 6
5
(3.3)
Ik = −5Ik−1 + 1
, k = 1,2,...,n (3.4)
k
y0 = I0, yn = In
yn = fn(I0)
y0 → fn → yn
fn : R → R
Ne interesează condit¸ionarea lui fn în y0 = I0. Rezultatul final va fi o aproxi-
) s¸i vom avea
I
∗ n −In
= (condfn)(I0)
I
∗ 0 −I0
mareI ∗ n = fn(I ∗ 0
Aplicând (3.4) obt¸inem
In
I0
yn = fn(y0) = (−5) n y0 +pn,
cu pn independent dey0.
(condfn)(y0) =
y0f
′
(y0)
=
y0(−5)
n
.
Deoarece In este descrescător
yn
n I05
(condfn)(I0) =
In
> I0 ·5 n
I0
yn
= 5 n
Spunem că avem de-a face cu o problemă prost condit¸ionată. Cum putem evita
fenomenul?
În loc să înmult¸im cu un număr mare, mai bine împărt¸im cu un număr mare.
Scriem (3.4) astfel
yk−1 = 1
5
1
k −yk
, k = ν,ν −1,...,n+1
Problema este, desigur, cum să calculăm valoarea de pornireyν.
Înainte de a începe cu aceasta să observăm că avem o nouă cutie neagră