Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

48 Teoria erorilor
Problema 3.4.8 Dacă b2 ≈ 4ac, eroarea de rotunjire poate contamina jumătate
din cifrele rădăcinii calculate cu formula −b±√b 2 −4ac
(β = 2).
2c
Solut¸ie. Dacă eroarea relativă estenε atunci numărul de cifre contaminat este
log βn.
((b⊗b)⊖(3a⊗c) = (b 2 (1+δ1)−4ac(1+δ2))(1+δ3) =
= (d(1+δ1)−4ac(δ1 −δ2)(1+δ3)).
Pentru a estima eroarea vom ignora termenii de ordinul doi înδi, eroarea fiind
d(δ1 +δ3)−4acδn, |δ4| = |δ1 −δ2| ≤ 2ε
Deoarece δ ≪ 4ac, primul termend(δ1 +δ3) poate fi ignorat. Pentru a estima
al treilea termen scriem
deci ax1x2 = c
unde
ax 2 +bx+c = a(x−x1)(x−x2),
b 2 ≈ 4ac ⇒ x1 ≈ x2 ⇒ 4acδ4 ≈ 4a 2 x 2 1 δ4
Valoarea calculată pentru √ d este d+4a 2 x 2 1δ4.
Aplicăm inegalitatea
p−q ≤ p 2 −q 2 ≤ p 2 +q 2 ≤ p+q, p ≥ q.
Obt¸inem d+4a 2 x1δ4 = √ d+E
|E| ≤
4a 2 x 2 1 |δn|
√ δn.
deci eroarea absolută pentru √ d este aproximativx1
2a
Deoarece δ4 ≈ β−p , √ δ4 ≈ β−p/2 s¸i deci această eroare absolută contaminează
jumătate din bit¸ii rădăciniix1 = x2.
3.5 Condit¸ionarea unei probleme
Exemplul 3.5.1 (Recurent¸e) Calculăm
1
In =
0
tn dt pentrun ∈ N
t+5