Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 47
Demonstrat¸ie.µ(x) = 1−x/2+x 2 /3−... este o serie alternată cu termeni
descrescători, deci pentrux ≤ 1,
µ(x) ≥ 1− x
2
≥ 1/2 s¸i µ(x) ≤ 1.
Seria Taylor a lui µ ′ (x) este de asemenea alternată s¸i dacă x ≤ 3
, termenii
4
sunt descrescători deci
−1/2 ≤ µ ′ (x) ≤ − 1 2x
+
2 3
Demonstrat¸ia teoremei.
ln(1+x) = x− x2
2
+ x3
3
sau − 1
2 ≤ µ′ (x) ≤ 0.
−... (Taylor)
alternată s¸i0 < x−ln(1+x) < x2
x
,δ pentruln(1+x) ≈ x < . Dacă1⊕x = 1,
2 2
atunci|x| < ε, deci δ < ε
2 .
Dacă 1⊕x = 1, fie x definit prin1⊕x = 1+x
0 ≤ x < 1 ⇒ (1⊕x)⊖1 = x. Dacă împărt¸irea s¸i logaritmul se calculează
cu o precizie de1/2ulp
adică
ln(1⊕x)
(1⊕x)⊖1 (1+δ1)(1+δ2) =
ln(1+ x)
(1+δ1)(1+δ2) =
x
= µ(x)(1+δ1)(1+δ2); |δ1| ≤ ε, |δ2| ≤ ε
µ(x)−µ(x) = (x−x)µ(ξ) ξ ∈ (x,x)
Din definit¸ia lui x, |x−x| ≤ ε. Aplicăm
|µ(x)−µ(x)| ≤ ε
2
sau
µ(x)
µ(x)
−1
≤
µ(x) = µ(x)(1+δ3), |δ3| ≤ ε
ε
≤ ε
2|µ(x)|
xln(1+x)
(1+x)−1 (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4), |δi| ≤ ε
Dacă ε > 0.1 atunci
cu |δ| < 5ε.
(1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)(1+δ4) = 1+δ