Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

46 Teoria erorilor
Problema 3.4.6 Depunând 100$ pe zi într-un cont cu o rată a dobânzii de 6%
calculată zilnic la sfârs¸itul anului avem 100[(1+i/n)−1]/(i/n)$.
Dacă p = 2 s¸i p = 24 (ca în IEEE) obt¸inem 37615.45$ care comparat cu
răspunsul exact, 37614.05$ dă o discrepant¸ă de 1.40$. Explicat¸i fenomenul.
Solut¸ie. Expresia1+i/n implică adăugarea unui 1 la 0.0001643836, deci bit¸ii
de ordin mic ai lui i/n se pierd. Această eroare de rotunjire este amplificată când
(1+i/n) este ridicat la puterea an−a. Expresia(1+i/n) n se rescrie sub forma
exp[nln(1 + i/n)]. Problema este acum calculul lui ln(1 + x) pentru x mic. O
posibilitate ar fi să utilizăm aproximarealn(1+x) ≃ x s¸i se obt¸ine 37617.26$ cu
o eroare de 3.21$ deci mai mare decât în situat¸ia anterioară. Rezultatul de mai jos
ne permite să calculăm precis ln(1+x)(37614.67$, eroarea 2c). Se presupune că
LN(x) aproximează lnx cu o precizie ≤ 1/2ulp. Problema care o rezolvă este
aceea că atunci cândxeste micLN(1⊕x) nu este apropiat deln(1+x) deoarece
1⊕xnu este precis. Adică valoarea calculată pentru ln(1+x) nu este apropiată
de valoarea actuală când x ≤ 1.
I. Dacă ln(1+x) se calculează utilizând formula
⎧
⎪⎨
ln(1+x) =
⎪⎩
x dacă 1⊕x = 1
xln(1+x)
(1+x)−1
dacă 1⊕x = 1
eroarea relativă este cel mult 5ε când 0 ≤ x < 3/4 cu condit¸ia ca scăderea să se
realizeze cu o cifră de gardă,ε < 0.1 s¸i ln este calculat cu o precizie de1/2ulp.
Această formulă este operat¸ională pentru orice valoare a luix, dar este interesantă
dacăx ≪ 1, când apare anulare catastrofală în formula naivă pentru calculul
luiln(1+x). Des¸i formula pare misterioasă ea are o explicat¸ie simplă.
ln(1+x) = xln(1+x)
x
= xµ(x)
µ(x) = ln(1+x)
x
va suferi o eroare mare când se adaugă 1 la x. Totus¸i µ este aproape constantă
deoarece ln(1+x) ≃ x. Deci dacăxse schimbă put¸in eroarea va fi mică. Cu alte
cuvinte, dacă x ≃ x, xµ(x) va fi o aproximare bună pentru xµ(x) = ln(1 + x).
Există o valoare pentru x astfel încât x +1 să poată fi calculat precis? Deci x =
(1⊕x)⊖1, deoarece în acest caz 1+ x = 1⊕x.
Lema 3.4.7 Dacă µ(x) = ln(1+x)
, atunci pentru0 ≤ x ≤
x
3
4
1/2 ≤ µ(x) ≤ 1 s¸i |µ ′ (x)| ≤ 1/2.