Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

44 Teoria erorilor
Problema 3.4.5 (Însumare Kahan) Eroarea de rotunjire pentru algoritmul 1 poate
fi estimată prin
|sn −sn| ≤ 2eps+O neps 2 n
|xi|. (3.2)
Solut¸ie. Să vedem întâi cum s-a obt¸inut estimat¸ia pentru formula xi. Introducen
s1 = x1,si = (1+δi)(si−1+xi). Atunci suma calculată estesn, care este o sumă
de termeni de formaxi înmult¸it cu o expresie înδj-uri. Coeficientul exact al luix1
este(1+δ2)(1+δ3)...(1+δn). Deci prin renumerotare, coeficientul luix2 este
(1 + δ3)(1 + δ4)...(1 + δn) s¸.a.m.d. Se procedează la fel ca la problema 3.4.4,
doar coeficientul lui x1 este mai complicat. Avems0 = e0 = 0 s¸i
yk = xk ⊖ck−1 = (xk −ck−1)(1+ηk)
sk = sk−1 ⊕yk = (sk−1 +yk)(1+σk)
ek = (sk ⊖sk−1)⊖yk = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)
unde toate literele greces¸ti sunt mărginite de eps. Este mai us¸or să calculăm coeficientul
luix1 însk −ek s¸i ek decât însk. Când k = 1,
e1 = (s1(1+γ1)−γ1)(1+δ1) = y1((1+σ1)(1+γ1)−1)(1+δ1)
= x1(σ1 +γ1 +σ1γ −1)(1+δ1)(1+η1)
s1 −c1 = x1[(1+σ1)−(σ1 +γ1 +σ1γ1)(1+δ1)](1+η1)
i=1
= x1[1−γ1 −σ1δ1 −σ1γ1 −δ1γ1 −σ1γ1δ1](1+η1).
Notând coeficient¸ii luix1 în aceste expresii cu Ek s¸i respectivSk, atunci
E1 = 2eps+O(eps 2 )
S1 = 1+η1 −γ1 +4eps 2 +O(eps 3 ).
Pentru a obt¸ine formula generală pentru Sk s¸i Ek, dezvoltăm definit¸iile lui sk s¸i
ek, ignorând tot¸i termenii în xi cu i > 1. Aceasta ne dă
sk = (sk−1 +yk)(1+σk) = [sk−1 +(xk −ek−1)(1+ηk)](1+σk)
= [(sk−1 −ek−1)−ηkek−1](1+σk)
ek = [(sk −sk−1)(1+γk)−yk](1+δk)
= {[((sk−1 −ek−1)−ηkek−1)(1+σk)−sk−1](1+γk)+ek−1(1+ηk)}
(1+δk)