Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 43
Concluzie. Dublarea preciziei schimbă perturbat¸ia dinnε în nε 2 ≪ ε.
Există o metodă de însumare în simplă precizie a unui număr mare de numere,
introdusă de Kahan.
Ea utilizează aceeas¸i strategie ca însumarea directă, dar la fiecare operat¸ie de
adunare eroarea de rotunjire este estimată s¸i compensată cu un termen de corect¸ie.
Principiul de estimare este explicat în figura 3.1, unde semnificant¸ii termenilor a
s¸ibsunt reprezentat¸i prin dreptunghiuri. El poate fi reprezentat prin formula
e = ((a⊕b)⊖a)⊖b = (s⊖a)⊖b. (3.1)
Astfel, într-o aritmetică binară cu rotunjire, pentrua ≥ b are loc
e = s−(a+b);
deci, eroarea de rotunjire este dată exact de (3.1).
a a1 a2
b b1 b2
s := a⊕b a1 a2 +b1
t := s⊖a b1 0
e := t⊖b −b2
Figura 3.1: Estimarea erorii de rotunjires−s = −b2
Pentru însumare compensată la fiecare pas eroarea de însumare este estimată
în conformitate cu principiul lui Kahan s¸i utilizată pentru ajustare (algoritmul 1).
Algoritmul 1 Însumare Kahan
s := x1;
e := 0;
fori = 2 to n do
y := xi −e;
t := s+y;
e := (t−s)−y;
s := t
end for