Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

42 Teoria erorilor
În intervalul [10 n ,2 m ] unde m este cel mai mic întreg astfel ca 10 n < 2 m , spat¸iul
dintre numerele binare este2 m−24 .
Inegalitatea
10 (n+1)−9 < 2 m−2n
rezultă astfel:
10 n < 2 m
10 (n+1)−9 = 10 n 10 −8 < 2 m 10 −8 < 2 m 2 −24
Observat¸ia 3.4.3 Spat¸iul dintre 2 numere zecimale este mai mic decât 10 −9 ·
10 n+1 = 10 n+1−9 = 10 n−8 , iar spat¸iul dintre 2 numere binare este mai mare
decât2 m ·2 −24 = 2 m−24 .
Problema 3.4.4 În multe probleme, cum ar fi integrarea numerică s¸i rezolvarea
numerică a ecuat¸iilor diferent¸iale, este nevoie să se însumeze mai mult¸i termeni.
Deoarece fiecare adunare poate introduce o eroare ≈ 1/2ulp, o sumă cu mii
de termeni poate introduce o eroare de rotunjire foarte mare. Să se arate că un
mod simplu de a mics¸ora eroarea este de a efectua sumarea în dublă precizie s¸i
celelalte calcule în simplă precizie.
Solut¸ie. Pentru a da o estimare grosieră a modului în care reprezentarea în
dublă precizie îmbunătăt¸es¸te acuratet¸ea fie s1 = x1, s2 = x1 ⊕ x2,..., si =
si−1 ⊕xi. Atunci
si = (1+δi)(si−1 +xi),
unde|δi| ≤ ε.
sn = (1 = δn)(sn−1 +xn) = (1+δn)sn−1 +(1+δn)xn
= (1+δn)(1+δn−1)(sn−2 +xn−1)+(1+δn)xn
= (1+δn)(1+δn−1)sn−2 +(1+δn)(1+δn−1xn−1 +(1+δn)xn = ...
= (1+δn)xn +(1+δn)(1+δn−1)xn−1 +···+(1+δn)...(1+δ1)x1
n
n
n n
n
≈ 1+ δk) = xj +
j=1
xj
k=j
j=1
j=1
xj
k=j
∆x1 ≈ nε ∆x2 ≈ (n−1)ε,...,∆xn ≈ ε
∆sn ≤ nε |xj|
Dublarea precizie are ca efect ridicarea la pătrat a lui ε. Pentru dublă precizie
1/ε ≈ 10 16 deci nε ≪ 1 pentru orice valoare rezonabilă a luin.
δk