Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 41
Pentru cealaltă variantă
(x⊗x)⊖(y ⊗y) = [x 2 (1+δ1)−y 2 (1+δ2)](1+δ3) =
= [(x 2 −y 2 )(1+δ1)+(δ1 −δ2)y 2 ](1+δ3)
Dacă x ≈ y ⇒ (δ1 − δ2)y 2 ≈ x 2 − y 2 , atunci (x − y)(x+y) este mai precis
decât x 2 −y 2
δ = (x⊗x)⊖(y ⊗y)−(x2 −y 2 )
x 2 −y 2
= (1+δ1)(1+δ3)+ (δ1 −δ2)(1+δ3)y 2
x 2 −y 2
−1
= δ1 +δ3 +δ1δ3 + y2
x 2 −y 2(δ1 −δ2 +δ1δ3 −δ2δ3).
Problema 3.4.2 ( Conversia binar zecimal (scriere s¸i apoi citire))
Pentru precizie simplă avem p = 24 s¸i 2 24 < 10 8 deci 8 cifre par suficiente
pentru a recupera numărul original (totus¸i nu este as¸a!). Când un număr binar
IEEE simplă precizie este convertit la cel mai apropiat număr zecimal de 8 cifre,
nu este întotdeauna posibil să recuperăm unic numărul binar din cel zecimal.
Dacă se utilizează nouă cifre, totus¸i, conversia numărul zecimal în binar va recupera
numărul flotant originar.
Demonstrat¸ie. Numerele binare în simplă precizie din intervalul [10 3 ,2 10 ) =
[1000,1024) au zece bit¸i în stânga mărcii zecimale s¸i 14 la dreapta. Există deci
(2 10 − 10 3 ) = 393216 numere binare diferite în acest interval. Dacă numerele
zecimale sunt reprezentate cu 8 cifre avem(2 10 −10 3 )10 4 = 240000 numere zecimale
în acest interval. Deci nu există nici o modalitate de a reprezenta prin 240000
de numere zecimale 393216 numere binare diferite. 8 cifre sunt insuficiente!
Pentru a arăta că nouă cifre sunt suficiente trebuie să arătăm că spat¸iul dintre
numerele binare este întotdeauna mai mare decât cel dintre numerele zecimale.
Aceasta ne asigură că, pentru fiecare număr zecimal posibil, intervalul de forma
N − 1 1
ulp,N +
2 2 ulp
cont¸ine cel put¸in un număr binar. Astfel, fiecare număr
binar se rotunjes¸te la un număr zecimal unic, care ne conduce la un număr binar
unic.
Pentru a arăta că spat¸iul dintre numerele zecimale este întotdeauna mai mic
decât spat¸iul dintre numerele binare să considerăm intervalul [10 n ,10 n+1 ]. Pe
acest interval, spat¸iul dintre două numere zecimale consecutive este 10 (n+1)−9 .