Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

40 Teoria erorilor Solut¸ie. Tx = 1 1 1 2 × 1 1 1 2 −1 = A∞ = 3 A −1 ∞ = 3 cond∞(T) = 9 3.4 Aritmetică în virgulă flotantă 2 −1 −1 1 Problema 3.4.1 Să se compare următoarele două metode pentru calculul luix 2 − y 2 : x⊗x⊖y ⊗y, (x⊕y)⊗(x⊖y). Solut¸ie. Eroarea relativă pentru x⊖y este Altfel scris La fel δx⊖y = δ1 = [(x⊖y)−(x−y)]/(x−y)] |δ1| ≤ 2ε x⊖y = (x−y)(1+δ1) |δ1| ≤ 2ε x⊕y = (x+y)(1+δ2) |δ2| ≤ 2ε Presupunând că înmult¸irea se realizează calculând produsul exact s¸i apoi efectuând rotunjirea, eroarea relativă este cel mult1/2 ulp, deci Se iau = x⊖y,v = x⊕y u⊗v = uv(1+δ3) |δ3| ≤ ε ∀u,v ∈ NVF (x⊖y)⊗(x⊕y) = (x−y)(1+δ1)(x+y)(1+δ2)(1+δ3) Eroarea relativă este (x⊖y)⊗(x⊕y)−(x 2 −y 2 ) (x 2 −y 2 ) = (1+δ1)(1+δ2)(1+δ3)−1 = = δ1 +δ2 +δ3 +δ1δ2 +δ1δ3 +δ2δ3 +δ1δ2δ3 < 5ε+8ε 2 ≈ 5ε
3.4. Aritmetică în virgulă flotantă 41 Pentru cealaltă variantă (x⊗x)⊖(y ⊗y) = [x 2 (1+δ1)−y 2 (1+δ2)](1+δ3) = = [(x 2 −y 2 )(1+δ1)+(δ1 −δ2)y 2 ](1+δ3) Dacă x ≈ y ⇒ (δ1 − δ2)y 2 ≈ x 2 − y 2 , atunci (x − y)(x+y) este mai precis decât x 2 −y 2 δ = (x⊗x)⊖(y ⊗y)−(x2 −y 2 ) x 2 −y 2 = (1+δ1)(1+δ3)+ (δ1 −δ2)(1+δ3)y 2 x 2 −y 2 −1 = δ1 +δ3 +δ1δ3 + y2 x 2 −y 2(δ1 −δ2 +δ1δ3 −δ2δ3). Problema 3.4.2 ( Conversia binar zecimal (scriere s¸i apoi citire)) Pentru precizie simplă avem p = 24 s¸i 2 24 < 10 8 deci 8 cifre par suficiente pentru a recupera numărul original (totus¸i nu este as¸a!). Când un număr binar IEEE simplă precizie este convertit la cel mai apropiat număr zecimal de 8 cifre, nu este întotdeauna posibil să recuperăm unic numărul binar din cel zecimal. Dacă se utilizează nouă cifre, totus¸i, conversia numărul zecimal în binar va recupera numărul flotant originar. Demonstrat¸ie. Numerele binare în simplă precizie din intervalul [10 3 ,2 10 ) = [1000,1024) au zece bit¸i în stânga mărcii zecimale s¸i 14 la dreapta. Există deci (2 10 − 10 3 ) = 393216 numere binare diferite în acest interval. Dacă numerele zecimale sunt reprezentate cu 8 cifre avem(2 10 −10 3 )10 4 = 240000 numere zecimale în acest interval. Deci nu există nici o modalitate de a reprezenta prin 240000 de numere zecimale 393216 numere binare diferite. 8 cifre sunt insuficiente! Pentru a arăta că nouă cifre sunt suficiente trebuie să arătăm că spat¸iul dintre numerele binare este întotdeauna mai mare decât cel dintre numerele zecimale. Aceasta ne asigură că, pentru fiecare număr zecimal posibil, intervalul de forma N − 1 1 ulp,N + 2 2 ulp cont¸ine cel put¸in un număr binar. Astfel, fiecare număr binar se rotunjes¸te la un număr zecimal unic, care ne conduce la un număr binar unic. Pentru a arăta că spat¸iul dintre numerele zecimale este întotdeauna mai mic decât spat¸iul dintre numerele binare să considerăm intervalul [10 n ,10 n+1 ]. Pe acest interval, spat¸iul dintre două numere zecimale consecutive este 10 (n+1)−9 .
Page 1 and 2: Culegere de probleme de Analiză nu
Page 3 and 4: CUPRINS iii 6.4 Interpolare Birkhof
Page 5 and 6: Prefat¸ă Aici ar veni prefat¸a.
Page 7 and 8: (restul în forma lui Cauchy) (Rnf)
Page 9 and 10: se obt¸ine pentru valoarea derivat
Page 11 and 12: Capitolul 2 Elemente de Analiză fu
Page 13 and 14: 2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 15 and 16: 2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 17 and 18: 2.2. Spat¸ii Hilbert 13 gn → 0
Page 19 and 20: 2.3. Serii Fourier 15 Solut¸ie. X
Page 21 and 22: 2.3. Serii Fourier 17 Spunem că si
Page 23 and 24: 2.4. Polinoame ortogonale 19 face u
Page 25 and 26: 2.4. Polinoame ortogonale 21 ∞
Page 27 and 28: 2.4. Polinoame ortogonale 23 Solut
Page 29 and 30: 2.4. Polinoame ortogonale 25 1 −
Page 31 and 32: 2.4. Polinoame ortogonale 27 ne dă
Page 33 and 34: 2.4. Polinoame ortogonale 29 undeC1
Page 35 and 36: 2.4. Polinoame ortogonale 31 (1) Ar
Page 37 and 38: 2.4. Polinoame ortogonale 33 (1) Ar
Page 39 and 40: Capitolul 3 Teoria erorilor Definit
Page 41 and 42: 3.2. Propagarea erorilor 37 Teorema
Page 43: 3.3. Erorile pentru vectori s¸i op
Page 47 and 48: 3.4. Aritmetică în virgulă flota
Page 53 and 54: 3.5. Condit¸ionarea unei probleme
Page 59 and 60: 4.1. Descompunere LU 55 ⎛ ⎝ 13
Page 61 and 62: 4.2. Descompunere LUP 57 = 1 0 =
Page 63 and 64: 4.2. Descompunere LUP 59 cu solut¸
Page 65 and 66: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 61 obt¸i
Page 67 and 68: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 63 adică
Page 69 and 70: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 65 TJm =
Page 71 and 72: Capitolul 5 Calculul cu diferent¸e
Page 73 and 74: Definit¸ia 5.0.9 Prederivata de or
Page 75 and 76: Problema 5.0.15 Să se stabilească
Page 77 and 78: Problema 5.0.17 Să se calculeze∆
Page 79 and 80: m−1 + (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk
Page 81 and 82: Presupunem că (a+b) [m−1,h] =
Page 83 and 84: 6.1. Interpolare polinomială 79 cu
Page 85 and 86: 6.1. Interpolare polinomială 81 Ca
Page 87 and 88: 6.2. Interpolare Lagrange 83 (a) (L
Page 89 and 90: 6.3. Interpolare Hermite 85 Problem
Page 91 and 92: 6.3. Interpolare Hermite 87 u ′ 2
Page 93 and 94: 6.3. Interpolare Hermite 89 Tm+1(x
Page 95 and 96:
6.4. Interpolare Birkhoff 91 6.4 In
Page 97 and 98:
6.5. Interpolare rat¸ională 93 Tr
Page 99 and 100:
6.5. Interpolare rat¸ională 95 a3
Page 101 and 102:
6.6. Interpolare spline 97 Demonstr
Page 103 and 104:
6.6. Interpolare spline 99 s3(x) =
Page 105 and 106:
6.6. Interpolare spline 101 ⎡ ⎤
Page 107 and 108:
Capitolul 7 Aproximări în medie p
Page 109 and 110:
matricial Gjk = dk = n = 1, g1(x) =
Page 111 and 112:
= ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 i −1 −i
Page 113 and 114:
am = a2 = Re(e 2−πi c2/2) = y0
Page 115 and 116:
8.1. Operatorul lui Bernstein 111 P
Page 117 and 118:
8.1. Operatorul lui Bernstein 113 r
Page 119 and 120:
8.2. B-spline 115 B1,2(x) = ω1,2(x
Page 121 and 122:
8.2. B-spline 117 Problema 8.2.3 Pe
Page 123 and 124:
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 125 and 126:
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 127 and 128:
9.1. Derivare numerică 123 (Rmf)(x
Page 129 and 130:
9.1. Derivare numerică 125 Solut¸
Page 131 and 132:
9.2. Formule de integrare numerică
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
9.3. Alte formule de tip interpolat
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lu
Page 147 and 148:
9.5. Formule de cuadratură de tip
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Capitolul 10 Ecuat¸ii neliniare 10
Page 157 and 158:
10.1. Ecuat¸ii în R 153 f(a) a ξ
Page 159 and 160:
10.1. Ecuat¸ii în R 155 f ′ (x)
Page 161 and 162:
10.1. Ecuat¸ii în R 157 Ecuat¸ia
Page 163 and 164:
10.1. Ecuat¸ii în R 159 Observat
Page 165 and 166:
10.2. Sisteme neliniare 161 x1 −x
Page 167 and 168:
10.2. Sisteme neliniare 163 Solut¸
Page 169 and 170:
165 Să aplicăm acum pentru aceeas
Page 171 and 172:
= 1 5 h 12 h3f ′′ (µi,y(µi)
Page 173 and 174:
− 1 12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+
show all

Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

You also want an ePaper? Increase the reach of your titles

Delete template?

Save as template?