Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.3. Erorile pentru vectori s¸i operatori 39
f(x)−f(x)∞ := ε(x) = max |ε(x)| ≤ bf
x∈[c,d]
∆T ≤ (d−c)bf
Sx(T) = Tx
Tx
= max
ε=0 ρx,ε
Problema 3.3.2 Să se studieze senzitivitatea operatorului aditiv
Solut¸ie. Fie
În general
Dacă u s¸i v au acelas¸i semn
U(u,v) = u+v, T : (R 2 ,·1) → (R,||)
(u,v) = (2,3)
S2,3(T) = |2|+|3|
|2+3|
Sx(T) = |u|+|v|
|u+v|
Sx(T) = 1
Dacă u s¸i v au semne opuse|u+v| < |u|+|v| s¸iSx(T) > 1.
Senzitivitatea poate fi făcută oricât de mare pentruus¸iv de semne contrare s¸i
apropiate în modul
u = 0.5, v = −0.499999
∆u,∆v < 10 −6
= 1
Sx(T) ≈ 0.000002
≈ 2·10−6
0.999999
Concluzie. ε rel.ies¸ire> 106 ·eroarea rel. de intrare
Morala: evitarea scăderii cantităt¸ilor apropiate
Problema 3.3.3 Indicat¸i o modalitate de a evita anularea pentru
1)e x −1 |x| ≪ 1
2) √ x+1− √ x x ≫ 0
Problema 3.3.4 Să se determine numărul de condit¸ionare pentru operatorul T :
R 2 → R 2
x
y
T
→
x+y
x+2y