Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

3.2. Propagarea erorilor 37
Teorema 3.1.6 Fiea,α ∈ R+. Dacăaaproximează peα cumcifre semnificative
corecte, undea0 este cifra cea mai semnificativă a luiaîn baza b, atunci
δa ≤ 1
a0b n−1
Exemplul 3.1.7 Care este o limită a erorii relative dacă lucrăm cu 3.14 în loc de
π?
a0 = 3, n = 3
1 1 1
δa = = =
3·10 3−1 300 3 %
Exemplul 3.1.8 Câte cifre trebuie considerate la calculul lui √ 20 astfel încât
eroarea să nu depăs¸ească 0.1%?
a0 = 4, δ = 0.001
1
4·10 n−1 ≤ 0.001, 10n−1 ≥ 250 ⇒ n = 4
Invers, numărul de cifre corecte
Teorema 3.1.9 α ∈ R+, a aproximează peαs¸i
δa ≤
1
2(α0 +1)b n−1,
unde α0 este cifra cea mai semnificativă a lui α atunci a aproximează pe α cu n
cifre semnificative corecte.
Exemplul 3.1.10 a ≈ α, a = 24253, eroarea relativă 1%. Câte cifre semnificative
corecte are∆ = 24253 : 0.0 ≈ 243 = 2.43·10 2 ⇒ 2 cifre
3.2 Propagarea erorilor
u = f(x1,...,xn)
∆u ≈
∂f
∂xi
∆xi
|∆u| ≈
∂f
∂xi
|∆xi|
δn ≈
∂
lnf
∂xi
∆xi ≈
∂
xi lnf
∂xi
δxi