Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

34 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Teorema 2.4.13 (Cebîs¸ev) Pentru orice f ∈ C[a,b] există P ∗ d s¸i există d + 2
puncte
a ≤ x0 < ··· < xd+1 ≤ b
pentru care
(−1) i [p ∗ d(xi)−f(xi)] = σP ∗ d−f ∞ , i = 0,1,...,d+1
undeσ = sign(P ∗ d(x0)−f(x0)).
Problema 2.4.14 Să se determine p.c.b.a. unif. din P1 pentru f(x) = √ x pe
[a,b] ⊂ R+.
Solut¸ie.
Eroarea de aproximare este
P ∗ 1 = c0 +c1x
e1(x) = c0 +c1x− √ x
e ′ 1(x) = c1 − 1
2 √ x
xn = 1
4c 2 1
Conform teoremei lui Cebîs¸ev abaterea maximă se realizează în 3 puncte din[a,b]
s¸i obt¸inem sistemul neliniar
cu solut¸iile
⎧
⎨
⎩
c0 +c1a− √ a = E1
2 − = −E1 c1
c0 + 1
4c1
c0 +c1b− √ 3 = E1
c0 = 1
√ √
√a− a a+ b
√ √ +
2 a+ b 4
c1 =
1
√ a+ √ b
E1 = c0 +c1a− √ a
,