Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 33
(1) Arătat¸i că ∀f ∈ E
∞
n=0
(f,pn) 2 ≤ f 2 E
(2.37)
(inegalitatea lui Bessel) cu egalitate (a lui Parseval) dacă spat¸iul vectorial
P al polinoamelor este dens în E în care caz
este serie convergentă înE.
f =
∞
〈f,pn〉pn,
n=0
(2) P este dens înE dacă [a,b] este mărginit.
(3) Polinomul de cea mai bună aproximare de gradnaluif în E este
qn(x) =
n
(f,pk)pk(x) s¸i qn(x) = f(x)
k=0
în cel put¸inn+1 puncte din[a,b].
Solut¸ie.
(1) Rezultă imediat de la curs.
(2) P este dens înC 0 [a,b] pentru [a,b] mărginit s¸i
fE = f∞
b
a
w(x)dx
1/2
(3) qn este caracterizat prin(f−qn,pk) = 0 pentruk = 0,n în particular pentru
k = 0 b
(f(x)−qn(x))p0(x)w(x)dx = 0
a
deci f −sn se anulează în cel put¸in într-un punct din [a,b]. Dacă f −qn se
anulează în mai put¸in de n+1 puncte x1,...,xl din [a,b] cu l ≤ n atunci
dacă
l
s(x) = (x−xi),
i=1
s(x)(f(x)−qn(x)) păstrează semn constant s¸i deci〈f −qn,s〉 = 0 ceea ce
contrazice faptul că f −qn ⊥ Pn în L 2 w [a,b]