Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

32 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Aplicat¸ie. Stabilit¸i ecuat¸iile diferent¸iale corespunzătoare ponderii
w(x) = (1−x) α (1+x)β, α > −1, β > −1, [a,b] = [−1,1] (polinoamele
Jacobi pn(α,β))
(1−x 2 )p ′′ n −((α−β)+(α+β +2)x)p ′ n −n(α+β +1+n)pn = 0
în particular pentru polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I
s¸i pentru polinoamele lui LegendreLn
(1−x 2 )T ′′
n −xT′ n (x)+n2 Tn(x) = 0
(1−x 2 )L ′′ n(x)−2xL ′ n(x)+Ln(x) = 0
w(x) = e−x2 peR, polinoamele lui HermiteHn
H ′′
n (x)−2xH′ n (x)+2nHn(x) = 0
w(x) = x α e −x pe(0,∞),α > 1, polinoamele lui Laguerrel α n
xp ′′ n (x)+(α−1−x)p′ n (x)+npn(x) = 0
undepn(x) = lα n(x).
Solut¸ie. Dacă v(x) = w(x)(B0 + B1x + B2x2 ) ecuat¸ia diferent¸ială (2.36)
înmult¸ită cu w(x), t¸inând cont de (2.35) se scrie sub forma Sturm-Liouville
de unde
d
dx
v(x) dpn(x)
dx
= (A1n +B2n(n+1))pn(x)w(x)
d
dx [r(x)(p′ n(x)pm(x)−p ′ m(x)pn(x))] =
= {A1(n−m)+B2[n(n+1)−m(m+1)]}pn(x)pm(x)w(x)}
Integrând pe[a,b] se obt¸ine
b
a
pn(x)pm(x)w(x)dx = 0 pentru n = m
s¸i se verifică existent¸a unei solut¸ii polinomiale a lui (2) de grad n; prin urmare
(pn)n≥0 constituie sistemul de polinoame ortogonale pe [a,b] relativ la ponderea
w. 2. Verificare prin calcul.
Problema 2.4.12 Fie w o funct¸ie pondere pozitivă pe [a,b], E = L 2 w[a,b] s¸i (pn)
polinoamele ortonormale asociate.