Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 31
(1) Arătat¸i că
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
l α n ∈ Pn s¸i 〈l α n ,lα Γ(n+α+1)
m 〉 =
n!
(înL2 w(0,∞) cuw(x) = xαe−x ) undeΓ(s) este funct¸iaΓalui Euler definită
prin
Γ(s) =
∞
t
0
s−1 e −t dt (s > 0)
nl α n (x)−(2n−1+α−x)lα n−1 (x)+(n−1−α)lα n−2 (x) = 0
l α+1
n (x)−l α+1
n−1 (x) = lα n (x)
d
dx lα n(x) = −l α+1
n−1(x), x d
dx lα n(x) = nl α n(x)−(n+α)l α n−1(x)
∞
n=0
l α n (x) =
x n
n! =
t n l α n (x) =
n
(−1) k
n+α
x
n−k
k /k!
k=0
n
(−1) k
n+α
l
n−k
α k
k=0
1 xt
1−t |t| < 1 (f.gen.)
(1−t) α+1e−
H2n(x) = (−1) n 2 2n n!l −1/1
n (x 2 )
H2n+1(x) = (−1) n 2 2n+1 n!xl 1/2
n (x2 )
Solut¸ie. (1)-(7) se deduc utilizând tehnici analoage celor din exercit¸iile precedente.
(8) se obt¸ine dezvoltând în serieHn(x) s¸il α n(x).
Problema 2.4.11 (Ecuat¸ia diferent¸ială verificată de polinoamele ortogonale) Fie
w o funct¸ie pozitivă pe[a,b] astfel încât
w ′ (x)
w(x) =
A0 +A1x
B0 +B1x+B2x 2
s¸i lim
x→a+
w(x)(B0 +B1x+B2x
(sau x→b−)
2 ) = 0
(2.35)
(B0+B1x+B2x 2 )p ′′ n +(A0+A1x+B1+B2x)p ′ n −(A1n+B2n(n+1))pn = 0 (2.36)