Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

30 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
H ′ n−1 (x) = 2xHn−1(x)−Hn(x), H ′ n (x) = 2nHn−1(x)
∞
n=0
Hn(x) =
2 n x n =
0≤k≤ n
2
0≤k≤ n
2
t n
n! Hn(x) = e 2tx−t2
2 n/2 Hn
x+y
√ =
2
(−1) kn! (2x)
k!
n−2k
(n−2k)!
n!
k!(n−2k)! Hn−2k(x)
|t| < 1 (funct¸ie generatoare)
n
k=0
n
Hk(x)Hn−k(y)
k
Solut¸ie. Proprietăt¸ile (1), (2), (3), (4), (5), (7) rezultă din definit¸ia lui Hn procedând
ca la problema 2.4.2. Proprietatea (6) se obt¸ine dezvoltând (2x) n în serie
Fourier.
(2x) n n
= ((2x) n , Hk) Hk(x)
k=0
unde Hk sunt polinoamele ortonormale Hermite, evaluând produsul scalar(x n , Hk).
Proprietatea (8) se obt¸ine cu ajutorul funct¸iei generatoare
e 2tx−t2
e 2tx−t2
adică pentru|t| < 1
Hn(x) tn
n!
∞
Hn(y)
n=0
tn
n!
= e 2
t √ 2 x+y
√ −(t
2
√ 2) 2
=
∞
n=0
Hn
s¸i identificând coeficient¸ii luit n din cei doi membri.
Problema 2.4.10 Polinoamele asociate ale lui Laguerre
l α n (x) = ex x −α
n!
x+y
√ t
2
√ n 1
2
n!
d n
dx n(xn+α e −x ) pentru α > −1.