Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

More documents

Recommendations

Info

$P 0.1 Stabilişti natura şsi suma seriilor: a) Σ 1 n\ ; b) Σ arctan 1 n# + n ...$

28 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării Integrând succesiv prin părt¸i de obt¸ine 〈Ln,Lm〉 = 1 2n 1 d n! −1 n dxn(Lm(x))(x 2 −1) n dx care este nulă pentrun > m, iar pentrun = m (−1)n LnL2 = 2nn! 1 (x −1 2 −1) n dx = 2 2n+1 (2.30), (2.31), (2.32) se verifică simplu. (2.33) se obt¸ine direct din L ′ n(x) = 1 2n d n! n+1 dxn+1[(x2 −1) n ] = 1 2n d n! n dxn(n·2x(x2 −1) n−1 ) = xL ′ n−1 (x)+nLn−1(x) Din formula de recurent¸ă se obt¸ine nL ′ n(x) = (2n−1)Ln−1(x)+(2n−1)xL ′ n−1(x)−(n−1)L ′ n−2(x), de unde eliminândL ′ n : s¸i prin urmare EliminândL ′ n−2 xL ′ n−1 (x)−L′ n−2 (x) = (n−1)Ln−1(x) se obt¸ine L ′ n(x)−L ′ n−2(x) = (2n−1)Ln−1(x) (x 2 −1)L ′ n−1(x) = (n−1)[xLn−1(x)−Ln−2(x)] (6) Fie C un contur închis în C ce nu cont¸ine în interiorul său ±1, dar cont¸ine pe z; după formulele lui Cauchy s¸i Rodrigues Ln(z) = 1 2πi C (t 2 −1) n 2 n (t−z) n+1dt punând 1 Z = t2 −1 1 adicăt = 1− 2(t−z) Z √ 1−2zZ +Z 2 avem Ln(z) = C1 1 1 2πizn+1 1 √ 1−2zZ +Z 2 dZ
2.4. Polinoame ortogonale 29 undeC1 este imaginea luiC prin schimbareat → Z de unde s¸i pentru |t| < 1 Ln(z) = 1 d n! n dZn 1 √ 1−2zZ +Z 2 z=0 ∞ t n Ln(z) = n=0 1 √ 1−zt+t 2 Problema 2.4.8 Să se arate că polinoamele ortogonale în raport cu w(x) = √ x (respectiv1/ √ x) pe(0,1) sunt √ √ qn(x) = L2n+1 x / x respectiv √ qn(x) = L2n x Solut¸ie. Rezultatul se obt¸ine prin schimbarea de variabilă t = 1 √ x (respectiv t = √ x) utilizând proprietăt¸ile (1) s¸i (4) din exercit¸iul precedent. Problema 2.4.9 Polinoamele lui Hermite (1) Arătat¸i că (2) (3) cu w(x) = e−x2 . Hn(x) = (−1) n dn x2 e dxn(e−x2 ) Hn ∈ Pn s¸i 〈Hn,Hm〉 L 2 n(R) = 2 n n! √ πδnm Hn(x)−2xHn−1(x)+(2n−2)Hn−2(x) = 0 H0 = 1, H1(x) = 2x Hn(x) = 2 n x n +... Hn este o funct¸ie pară sau impară după cum n este par sau impar. H2k(0) = (−1) k(2k)! k!
Page 1 and 2: Culegere de probleme de Analiză nu
Page 3 and 4: CUPRINS iii 6.4 Interpolare Birkhof
Page 5 and 6: Prefat¸ă Aici ar veni prefat¸a.
Page 7 and 8: (restul în forma lui Cauchy) (Rnf)
Page 9 and 10: se obt¸ine pentru valoarea derivat
Page 11 and 12: Capitolul 2 Elemente de Analiză fu
Page 13 and 14: 2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 15 and 16: 2.1. Spat¸ii metrice, spat¸ii Ban
Page 17 and 18: 2.2. Spat¸ii Hilbert 13 gn → 0
Page 19 and 20: 2.3. Serii Fourier 15 Solut¸ie. X
Page 21 and 22: 2.3. Serii Fourier 17 Spunem că si
Page 23 and 24: 2.4. Polinoame ortogonale 19 face u
Page 25 and 26: 2.4. Polinoame ortogonale 21 ∞
Page 27 and 28: 2.4. Polinoame ortogonale 23 Solut
Page 29 and 30: 2.4. Polinoame ortogonale 25 1 −
Page 31: 2.4. Polinoame ortogonale 27 ne dă
Page 35 and 36: 2.4. Polinoame ortogonale 31 (1) Ar
Page 37 and 38: 2.4. Polinoame ortogonale 33 (1) Ar
Page 39 and 40: Capitolul 3 Teoria erorilor Definit
Page 41 and 42: 3.2. Propagarea erorilor 37 Teorema
Page 43 and 44: 3.3. Erorile pentru vectori s¸i op
Page 45 and 46: 3.4. Aritmetică în virgulă flota
Page 53 and 54: 3.5. Condit¸ionarea unei probleme
Page 59 and 60: 4.1. Descompunere LU 55 ⎛ ⎝ 13
Page 61 and 62: 4.2. Descompunere LUP 57 = 1 0 =
Page 63 and 64: 4.2. Descompunere LUP 59 cu solut¸
Page 65 and 66: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 61 obt¸i
Page 67 and 68: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 63 adică
Page 69 and 70: 4.3. Sisteme de ecuat¸ii 65 TJm =
Page 71 and 72: Capitolul 5 Calculul cu diferent¸e
Page 73 and 74: Definit¸ia 5.0.9 Prederivata de or
Page 75 and 76: Problema 5.0.15 Să se stabilească
Page 77 and 78: Problema 5.0.17 Să se calculeze∆
Page 79 and 80: m−1 + (xm −x0)[x0,...,xk;f][xk
Page 81 and 82: Presupunem că (a+b) [m−1,h] =
Page 83 and 84:
6.1. Interpolare polinomială 79 cu
Page 85 and 86:
6.1. Interpolare polinomială 81 Ca
Page 87 and 88:
6.2. Interpolare Lagrange 83 (a) (L
Page 89 and 90:
6.3. Interpolare Hermite 85 Problem
Page 91 and 92:
6.3. Interpolare Hermite 87 u ′ 2
Page 93 and 94:
6.3. Interpolare Hermite 89 Tm+1(x
Page 95 and 96:
6.4. Interpolare Birkhoff 91 6.4 In
Page 97 and 98:
6.5. Interpolare rat¸ională 93 Tr
Page 99 and 100:
6.5. Interpolare rat¸ională 95 a3
Page 101 and 102:
6.6. Interpolare spline 97 Demonstr
Page 103 and 104:
6.6. Interpolare spline 99 s3(x) =
Page 105 and 106:
6.6. Interpolare spline 101 ⎡ ⎤
Page 107 and 108:
Capitolul 7 Aproximări în medie p
Page 109 and 110:
matricial Gjk = dk = n = 1, g1(x) =
Page 111 and 112:
= ⎡ ⎢ ⎣ 1 1 1 1 1 i −1 −i
Page 113 and 114:
am = a2 = Re(e 2−πi c2/2) = y0
Page 115 and 116:
8.1. Operatorul lui Bernstein 111 P
Page 117 and 118:
8.1. Operatorul lui Bernstein 113 r
Page 119 and 120:
8.2. B-spline 115 B1,2(x) = ω1,2(x
Page 121 and 122:
8.2. B-spline 117 Problema 8.2.3 Pe
Page 123 and 124:
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 125 and 126:
8.3. Alt¸i operatori liniari s¸i
Page 127 and 128:
9.1. Derivare numerică 123 (Rmf)(x
Page 129 and 130:
9.1. Derivare numerică 125 Solut¸
Page 131 and 132:
9.2. Formule de integrare numerică
Page 133 and 134:
Page 135 and 136:
Page 137 and 138:
9.3. Alte formule de tip interpolat
Page 139 and 140:
Page 141 and 142:
Page 143 and 144:
Page 145 and 146:
9.4. Cuadraturi repetate. Metoda lu
Page 147 and 148:
9.5. Formule de cuadratură de tip
Page 149 and 150:
Page 151 and 152:
Page 153 and 154:
Page 155 and 156:
Capitolul 10 Ecuat¸ii neliniare 10
Page 157 and 158:
10.1. Ecuat¸ii în R 153 f(a) a ξ
Page 159 and 160:
10.1. Ecuat¸ii în R 155 f ′ (x)
Page 161 and 162:
10.1. Ecuat¸ii în R 157 Ecuat¸ia
Page 163 and 164:
10.1. Ecuat¸ii în R 159 Observat
Page 165 and 166:
10.2. Sisteme neliniare 161 x1 −x
Page 167 and 168:
10.2. Sisteme neliniare 163 Solut¸
Page 169 and 170:
165 Să aplicăm acum pentru aceeas
Page 171 and 172:
= 1 5 h 12 h3f ′′ (µi,y(µi)
Page 173 and 174:
− 1 12 [f(xi+1,yi+1)−2f(xi,yi)+
show all

Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

Create successful ePaper yourself

Delete template?

Save as template?