Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

28 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Integrând succesiv prin părt¸i de obt¸ine
〈Ln,Lm〉 = 1
2n 1
d
n! −1
n
dxn(Lm(x))(x 2 −1) n dx
care este nulă pentrun > m, iar pentrun = m
(−1)n
LnL2 =
2nn! 1
(x
−1
2 −1) n dx = 2
2n+1
(2.30), (2.31), (2.32) se verifică simplu. (2.33) se obt¸ine direct din
L ′ n(x) = 1
2n d
n!
n+1
dxn+1[(x2 −1) n ] = 1
2n d
n!
n
dxn(n·2x(x2 −1) n−1 )
= xL ′ n−1 (x)+nLn−1(x)
Din formula de recurent¸ă se obt¸ine
nL ′ n(x) = (2n−1)Ln−1(x)+(2n−1)xL ′ n−1(x)−(n−1)L ′ n−2(x),
de unde eliminândL ′ n :
s¸i prin urmare
EliminândL ′ n−2
xL ′ n−1 (x)−L′ n−2 (x) = (n−1)Ln−1(x)
se obt¸ine
L ′ n(x)−L ′ n−2(x) = (2n−1)Ln−1(x)
(x 2 −1)L ′ n−1(x) = (n−1)[xLn−1(x)−Ln−2(x)]
(6) Fie C un contur închis în C ce nu cont¸ine în interiorul său ±1, dar cont¸ine pe
z; după formulele lui Cauchy s¸i Rodrigues
Ln(z) = 1
2πi
C
(t 2 −1) n
2 n (t−z) n+1dt
punând 1
Z = t2 −1 1
adicăt = 1−
2(t−z) Z
√ 1−2zZ +Z 2
avem
Ln(z) =
C1
1 1
2πizn+1
1
√
1−2zZ +Z 2 dZ