Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 27
ne dă precizia dorită pe[−1,1].
Încercăm să eliminăm termenul de grad 3 înlocuindx 3 cu 3
4
P3(x) = 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
3 1
T1(x)+
6 4 4 T3(x)
= 191
192
9 13
+ x+
8
max
x∈[−1,1]
24 x2 + 1
24 T3(x)
1
24
T3(x)
= 0.0417
0.0417+0.0283 ≈ 0.07 > 0.5
T1(x)+ 1
4 T3(x).
Deci P3 de mai sus ne dă polinomul de grad cel mai mic pentru această aproximare.
Problema 2.4.7 Polinoamele lui Legendre
Arătat¸i că
Ln(x) = 1
2n d
n!
n
dxn[(x2 −1) n ] (formula lui Rodrigues)
Ln ∈ Pn s¸i 〈Ln,Lm〉 L 2 [−1,1] = 2
2n+1 δnm
(2.29)
nLn(x) = (2n−1)xLn−1(x)−(n−1)Ln−2(x) (2.30)
Ln(x) = 1(2n)!
2 n (n!) 2xn +... (2.31)
Ln(1) = 1, Ln(−1) = (−1) n , (2.32)
Ln este par pentrunimpar s¸i impar pentrunpar
L ′ n (x) = xL′ n−1 (x)+nLn−1(x) (2.33)
L ′ n (x)−L′ n−2 (x) = (2n−1)Ln−1(x)
(x 2 −1)L ′ n (x) = n(xLn(x)−Ln−1(x))
∞
t n Ln(x) =
n=0
1
√ 1−2xt+t 2
Solut¸ie. (2.29) Presupunem căn ≥ m,
pentru |t| < 1 (2.34)
〈Ln,Lm〉 L2 = 1
2n 1
Lm(x)
n! −1
d
dxn[(x2 −1) n ]dx