Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

26 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Să presupunem că eroarea esteε = 0.05 s¸i că dorim să înlocuim termenul din
polinomul Taylor care îl cont¸ine pex 4 cu un polinom Cebîs¸ev de grad ≤ 4.
Să deducem reprezentarea luix k cu ajutorul polinoamelor Cebîs¸ev.
s¸i
Deci
Tn+1 = 2tTn −Tn−1
T0(t) = 1
T1(t) = t
T2(t) = 2t 2 −1
T3(t) = 4t 3 −3t 2
T4(t) = 8t 4 −8t 2 +1
k Tk xk 0 1 T0
1
2
x
2x
T1
2 −1
1
2T0 + 1
2T2 3 4x3 3
−3x 4T1 + 1
4T3 4 8x4 −8x2 3 +1 8T0 + 1
2T2 + 1
8T4 5 16x5 −20x3 5 +5x 8T1 + 5
16T3 + 1
16T5 6 32x6 −48x4 +18x2 5 −1 16T0 + 15
32T2 + 3
16T4 + 1
32T6 P4(x) = 1+x+ 1
2 x2 + 1
6 x3 + 1
24
3
8
1 1
T0(x)+ T2(x)+
2 8 T4(x)
= 1+x+ 1
2 x2 + 1
6 x3 + 1 1 1
T0(x)+ T2(x)+
64 48 192 T4(x)
= 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
6 x3 + 1
192 T4(x)
max
x∈[−1,1] |T4(x)| = 1
1
192
T4(x)
1
≤ = 0.0053
192
|R4(x)|+
1
192
T4(x)
≤ 0.023+0.0053 = 0.0283 < 0.05
Deci termenul de grad 4, 1
192 T4(x), poate fi omis fără a afecta precizia dorită.
Polinomul de grad 3
P3(x) = 191 13
+x+
192 24 x2 + 1
6 x3