Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 25
1
−1
Qn = 1
2nQn, Qn
∈ Pn
√
1−t 2 0 pentru m = n
Qm(t)Qn(t)dt =
pentru m = n
PolinoameleQm, m = 0,1,2,... sunt ortogonale pe[−1,1] în raport cu ponderea
w(t) = √ 1−t 2 .
Are loc relat¸ia de recurent¸ă
π
2
Qn+1(t) = 2tQn(t)−Qn−1(t)
Ea rezultă imediat din relat¸ia sin(n + 2)θ + sinnθ = 2cosθsin(n + 1)θ. Dăm
primele 4 polinoame ortogonale:
Q0(t) = 1
Q1(t) = 2t
Q2(t) = 4t 2 −1
Q3(t) = 8t 3 −4t
Q4(t) = 16t 4 −12t 2 +1
Pentru alte intervale se face schimbarea de variabilă x = 1
2 [(b−a)x+a+b].
Polinoame Cebîs¸ev s¸i economizarea seriilor de puteri
Polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I pot fi utilizate pentru a reduce gradul unui
polinom de aproximare cu o pierdere minimă de precizie. Această tehnică este
utilă când se utilizează pentru aproximare polinomul Taylor. Des¸i polinoamele
Taylor sunt foarte precise în vecinătatea punctului în care se face dezvoltarea,
dacă ne îndepărtăm de acel punct precizia se deteriorează rapid. Din acest motiv,
pentru a atinge precizia dorită este nevoie de polinoame Taylor de grad mai mare.
Deoarece polinoamele Cebîs¸ev de spet¸a I au cea mai mică normă Cebîs¸ev pe un
interval, ele pot fi utilizate pentru a reduce gradul polinomului Taylor fără a depăs¸i
gradul de tolerant¸ă admis.
Exemplul 2.4.6 f(x) = e x poate fi aproximată pe [−1,1] prin polinomul Taylor
de grad 4 în jurul lui 0.
P4(x) = 1+x+ x2
2!
R4(x) = |f(ξ) (ξ(x))||x 5 |
5!
+ x3
3!
+ x4
4!
≤ e
≈ 0.023, x ∈ [−1,1]
120