Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

24 Elemente de Analiză funct¸ională s¸i teoria aproximării
Solut¸ie. Avem arccosξk = 2k−1π,
k = 1,n+1. Să calculăm acum produsul
2n+2
scalar:
(Ti,Tj) T = (cosiarccost,cosjarccost) T =
n+1
= cos(iarccosξk)cos(jarccosξk) =
k=1
n+1
2k −1
= cos i
2(n+1)
k=1
π
2k −1
cos j
2(n+1) π
=
= 1 n+1
2k −1 2k −1
cos(i+j) π +cos(i−j)
2 2(n+1) 2(n+1) π
=
k=1
= 1 n+1
i+j 1 n+1
i−j
cos(2k−1) π + cos(2k −1)
2 2(n+1) 2 2(n+1) π.
k=1
Notămα = i+j i−j
π, β = π s¸i
2(n+1) 2(n+1)
Deoarece
S1 = 1
n+1
2
k=1
S2 = 1 n+1
2
k=1
k=1
cos(2k −1)α,
cos(2k −1)β.
2sinαS1 = sin2(n+1)α,
2sinβS2 = sin2(n+1)β,
se obt¸ineS1 = 0 s¸iS2 = 0. Cealaltă proprietate se demonstrează analog.
Problema 2.4.4 Polinoame Cebîs¸ev de spet¸a a II-a.
Definit¸ia 2.4.5 Qn ∈ Pn dat de
Qn(t) = sin[(n+1)arccost]
√ , t ∈ [−1,1]
1−t 2
se numes¸te polinomul lui Cebîs¸ev de spet¸a a II-a.
Qn = 1
n+1 T′ n+1 (t), t ∈ [−1,1]