Culegere de probleme de Analiz˘a numeric˘a

2.4. Polinoame ortogonale 23
Solut¸ie. (2.19)-(2.24) s¸i (2.26) cu ajutorul formulelor trigonometrice uzua-
le. (2.25) se obt¸ine dezvoltând x n = (cosθ) n =
n eiθ +e−iθ 2
s¸i făcând să apară
Tn−2k(x). Funct¸iile generatoare se obt¸in ca pentru polinoamele Legendre (vezi
problema 2.4.7).
Problema 2.4.3
1. . Zerourile polinoamelor Cebîs¸ev de spet¸a I sunt
ξj := ξ (n)
2j −1
j = cos
2n π
, j = 1,n.
În [-1,1] existăn+1extreme
ηk := η (n)
k := cos kπ
, k = 0,n
n
undeTn are un minim sau un maxim local. În aceste puncte
Tn(ηk) = (−1) k , k = 1,n
s¸i Tn ∞ = 1 pe [−1,1]. Zerourile s¸i extremele polinoamelor Cebîs¸ev sunt
foarte importante ca noduri de interpolare. În raport cu produsul scalar
n+1
(f,g)T := f(ξk)g(ξk)
k=1
unde {ξ1,...,ξn+1} este mult¸imea zerourilor lui Tn+1 are loc următoarea
proprietate ⎧
⎨ 0, i = j
n+1
(Ti,Tj) T = , i = j = 0 .
⎩ 2
n+1, i = j = 0
2. În raport cu produsul scalar
(f,g) U := 1
1
f(η0)g(η0)+f(η1)g(η1)+···+f(ηn−1)g(ηn−1)+
2 2 f(ηn)g(ηn)
n′′
= f(ηk)g(ηk),
k=0
unde {η0,...,ηn} este mult¸imea extremelor lui Tn, are loc o propritate similară
⎧
⎨ 0, i = j
n
(Ti,Tj) U = , i = j = 0
⎩ 2 .
n, i = j = 0